กำหนดให้ $R$ เป็นเซตของจำนวนจริง

ให้ $f: R \rightarrow R$ และ $g: R \rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับ ซึ่งสอดคล้องกับ

$g(x) = x f(x)$ และ $g'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 2$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f$ เท่ากับ $6$

(ข) ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $f$ เท่ากับ $2$

(ค) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $(f+g)(x)$ เทียบกับ $x$ ขณะที่ $x = 1$ เท่ากับ $12$

ข้อใดถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]อินทิเกรต $g'(x)$ เพื่อหา $g(x)$[/STEP]

จาก $g'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 2$ อินทิเกรตจะได้

\begin{eqnarray*}
\int g'(x) dx &=& \int (4x^3 + 9x^2 + 2) dx\\
g(x) &=& x^4 + 3x^3 + 2x + c
\end{eqnarray*}

หาค่า $c$ เนื่องจาก $g(x) = xf(x)$ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
g(0) &=& 0 \cdot f(0)\\
&=& 0
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x = 0$ ใน $g(x)$

\begin{eqnarray*}
g(0) &=& 0^4 + 3(0^3) + 2(0) + c\\
0 &=& c
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $g(x) = x^4 + 3x^3 + 2x$

[STEP]หา $f(x)$[/STEP]

จาก $g(x) = xf(x)$ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
x^4 + 3x^3 + 2x &=& x f(x)\\
x^3 + 3x^2 + 2 &=& f(x)
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่าวิกฤตของ $f$[/STEP]

หาค่าวิกฤตของ $f$

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^3 + 3x^2 + 2\\
f'(x) &=& 3x^2 + 6x
\end{eqnarray*}

ให้ $f'(x) = 0$

\begin{eqnarray*}
3x^2 + 6x &=& 0\\
x^2 + 2x &=& 0\\
x(x+2) &=& 0\\
x &=& -2, 0
\end{eqnarray*}

จะได้ค่าวิกฤตของ $f$ คือ $-2$ และ $0$

[STEP]ตรวจสอบค่าวิกฤตของ $f$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 3x^2 + 6x\\
f''(x) &=& 6x + 6
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบ $x = -2$

\begin{eqnarray*}
f''(-2) &=& 6(-2) + 6\\
&=& -12 + 6\\
&=& -6\\
&<& 0
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $x = -2$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

ตรวจสอบ $x = 0$

\begin{eqnarray*}
f''(0) &=& 6(0) + 6\\
&=& 0 + 6\\
&=& 6\\
&>& 0
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $x = 0$ ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

[STEP]หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f$[/STEP]

$x = -2$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f$ คือ

\begin{eqnarray*}
f(-2) &=& (-2)^3+ 3(-2)^2 + 2\\
&=& -8 + 12 + 2\\
&=& 6
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ก) ถูกต้อง

[STEP]หาค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $f$[/STEP]

$x = 0$ ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $f$ คือ

\begin{eqnarray*}
f(0) &=& 0^3+ 3(0^2) + 2\\
&=& 0 + 0 + 2\\
&=& 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ข) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อความ (ค)[/STEP]

จาก $f(x) = x^3 + 3x^2 + 2$ และ $g(x) = x^4 + 3x^3 + 2x$ จะได้ $$(f+g)(x) = x^4 + 4x^3+ 3x^2+ 2x + 2$$

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $(f + g)(x)$ เทียบกับ $x$ ขณะ $x = 1$ คือ $\displaystyle (f+g)'(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(f+g)'(x) &=& 4x^3 + 12x^2 + 6x + 2\\
(f+g)'(1) &=& 4(1^3) + 12(1^2) +6(1) + 2\\
&=& 4 + 12 + 6 + 2\\
&=& 24
\end{eqnarray*}

แสดงว่า (ค) ผิด

[ANS](ก) และ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาค่าคงตัวจากการอินทิเกรต อัตราการเปลี่ยนแปลงและนิยามอนุพันธ์ สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต พีชคณิตของฟังก์ชัน