ให้ $x_1 , x_2 , x_3 , ..., x_{20}$ เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมาก และเป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริง

ถ้าควอร์ไทล์ที่ $1$ และเดไซล์ที่ $6$ ของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ $23.5$ และ $38.2$ ตามลำดับ แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $Q_1$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\text{ตำแหน่ง} \; Q_1 &=& \frac{r(N+1)}{4}\\
&=& \frac{(1)(20+1)}{4}\\
&=& \frac{21}{4}\\
&=& 5.25
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า ข้อมูลในตำแหน่งที่ $5$ และ $6$ ห่างกันอยู่ $d$ (ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต)

ดังนั้น ข้อมูลในตำแหน่งที่ $5.25$ จึงห่างจากตำแหน่งที่ $5$ อยู่ $0.25d$ จะได้

\begin{eqnarray*}
Q_1 &=& x_5 + 0.25d &&\\
23.5 &=& x_5 + 0.25d &----& (1)
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา $D_6$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\text{ตำแหน่ง} \; D_6 &=& \frac{r(N+1)}{10}\\
&=& \frac{6(20+1)}{10}\\
&=& \frac{126}{10}\\
&=& 12.6
\end{eqnarray*}

ในทำนองเดียวกับ $Q_1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
D_6 &=& x_{12} + 0.6d
\end{eqnarray*}

เปลี่ยนให้อยู่ในรูป $x_5$ เพื่อทำเป็นระบบสมการ $2$ ตัวแปร

\begin{eqnarray*}
D_6 &=& (x_5 + 7d) + 0.6d &&\\
38.2 &=& x_5 + 7.6d &----& (2)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
23.5 &=& x_5 + 0.25d &----& (1)\\
38.2 &=& x_5 + 7.6d &----& (2)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2) - (1)$

\begin{eqnarray*}
38.2 - 23.5 &=& (x_5 + 7.6d) - (x_5 + 0.25d)\\
14.7 &=& 7.35d\\
2 &=& d
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
23.5 &=& x_5 + 0.25(2)\\
23.5 &=& x_5 + 0.5\\
23 &=& x_5
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $Q_3$[/STEP]

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์คือ $$\displaystyle Q.D. = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$$

ดังนั้น เราจึงต้องหา $Q_3$

\begin{eqnarray*}
\text{ตำแหน่ง} \; Q_3 &=& \frac{r(N+1)}{4}\\
&=& \frac{3 (20+1)}{4}\\
&=& 15.75
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
Q_3 &=& x_{15} + 0.75d\\
&=& (x_5 + 10d) + 0.75d\\
&=& x_5 + 10.75d
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x_5 = 23$ และ $d = 2$

\begin{eqnarray*}
Q_3 &=& 23 + 10.75(2)\\
&=& 23 + 21.50\\
&=& 44.5
\end{eqnarray*}

[STEP]หาส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์[/STEP]

\begin{eqnarray*}
Q.D. &=& \frac{Q_3 - Q_1}{2}\\
&=& \frac{44.5 - 23.5}{2}\\
&=& \frac{21}{2}\\
&=& 10.5
\end{eqnarray*}

[ANS]$10.50$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเลขคณิต ควอร์ไทล์ การวัดการกระจายสัมบรูณ์ เดไซล์