,

จุดตัดแกน $X$ แทนค่า $y = 0$ ในสมการพาราโบลา $P$

$$\begin{eqnarray*} x^2 + 4x + 3(0) - 5 &=& 0\\ x^2 + 4x - 5 &=& 0\\ (x + 5)(x - 1) &=& 0\\ x &=& -5, 1 \end{eqnarray*}$$

จะได้พิกัดของจุด $A$ และ $B$ คือ $(-5, 0)$ และ $(1, 0)$

,

รูปวงรีมีจุดยอดอยู่ที่ $(-5, 0)$ และ $(1, 0)$ เราได้ว่าจุดศูนย์กลางต้องอยู่ตรงกลางพอดี นั่นคือ $(-2,0)$

และได้ระยะห่างจากศูนย์กลางไปยังจุดยอดเป็น $3$ หน่วย นั่นคือ $a=3$ ดังรูป

,

จัดรูปสมการพาราโบลา $x^2 + 4x + 3y - 5 = 0$

$$\begin{eqnarray*} x^2 + 4x &=& -3y + 5\\ [x^2 + 2x(2) + 2^2] - 2^2 &=& -3y + 5\\ (x+2)^2 &=& -3y + 9\\ (x+2)^2 &=& -3 (y - 3) \end{eqnarray*}$$

จะได้ว่าจุดยอดคือ $(-2,3)$

,

ลองวาดรูปวงรี $E$ กับโฟกัส จะได้

ให้ระยะจากจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสเท่ากับ $c$ จะได้พิกัดของโฟกัส $F_1$ และ $F_2$ เป็น $(-2 + c, 0)$ และ $(-2 - c , 0)$ ตามลำดับ

หาผลบวกระยะทางจากจุดยอดพาราโบลา $P$ ไปยังโฟกัสของวงรี $E$

$$\begin{eqnarray*} \sqrt{[-2 + c - (-2)]^2 + (0 - 3)^2} + \sqrt{[-2 - c - (-2)]^2 + (0 - 3)^2} &=& 2 \sqrt{13}\\ \sqrt{[\cancel{-2} + c - \cancel{(-2)}]^2 + (0 - 3)^2} + \sqrt{[\cancel{-2} - c - \cancel{(-2)}]^2 + (0 - 3)^2} &=& 2 \sqrt{13}\\ \sqrt{c^2 + 9} + \sqrt{c^2 + 9} &=& 2 \sqrt{13}\\ 2 \sqrt{c^2 + 9} &=& 2 \sqrt{13} \end{eqnarray*}$$

นำ $2$ หารตลอด แล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$$\begin{eqnarray*} \cancel{2} \sqrt{c^2 + 9} &=& \cancel{2} \sqrt{13}\\ (\sqrt{c^2 + 9})^2 &=& (\sqrt{13})^2\\ c^2 + 9 &=& 13\\ c^2 &=& 4 \end{eqnarray*}$$

,

เราทราบแล้วว่า $a=3$ และ $c^2 = 4$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a^2 &=& b^2 + c^2\\ 9 &=& b^2 + 4\\ 5 &=& b^2 \end{eqnarray*}$$

,

จากสมการมาตรฐานของวงรี $\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

$$\begin{eqnarray*} \frac{[x-(-2)]^2}{9} + \frac{(y-0)^2}{5} &=& 1\\ \frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-0)^2}{5} &=& 1\\ \frac{x^2 + 4x + 4}{9} + \frac{y^2}{5} &=& 1 \end{eqnarray*}$$

คูณตลอดด้วย $45$

$$\begin{eqnarray*} 5(x^2 + 4x + 4) + 9 y^2 &=& 45\\ 5x^2 + 20x + 20 + 9y^2 &=& 45\\ 5x^2 +20x +9y^2 &=& 25 \end{eqnarray*}$$