,

เส้นตรง $3x + 4y = 35$ มีความชันเป็น $\displaystyle -\frac{3}{4}$

สัมผัสวงกลมที่จุด $(5, 5)$ แสดงว่าเมื่อลากเส้นตรงเชื่อมจุดศูนย์กลางของวงกลมกับจุด $(5,5)$ แล้วจะตั้งฉากกับเส้นตรง $3x + 4y = 35$ ดังรูป

สมมุติให้จุด $A$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มีพิกัด $(h,k)$ จะได้ความชันของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุด $A$ กับ $(5,5)$ เป็น $\displaystyle \frac{k - 5}{h - 5}$

ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง $3x + 4y = 35$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\left( \frac{k - 5}{h - 5} \right) \left( -\frac{3}{4} \right) &=& -1\\
\left( \frac{k - 5}{h - 5} \right) \left( \cancel{-}\frac{3}{4} \right) &=& \cancel{-1}\\
3k - 15 &=& 4h - 20\\
0 &=& 4h - 3k - 5   \;\;\;\; ---- (1)
\end{eqnarray*}

,

ไฮเพอร์โบลามีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $A(h, k)$ เช่นกัน และมีเส้นตรง $3x - 4y = 2$ เป็นเส้นกำกับเส้นหนึ่ง

แสดงว่าจุด $A$ อยู่บนเส้นตรง $3x - 4y = 2$ จะได้ว่า $$3h - 4k = 2 \;\;---- (2)$$

แก้ระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
4h - 3k &=& 5 \;\; ----(1)\\
3h - 4k &=& 2 \;\; ----(2)
\end{eqnarray*}

นำ $3$ คูณสมการ $(1)$ และนำ $4$ คูณสมการ $(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
12h - 9k &=& 15 \;\; ----(3)\\
12h - 16k &=& 8 \;\; ----(4)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(3) - (4)$

\begin{eqnarray*}
(12h - 9k) - (12h - 16k) &=& 15 - 8\\
12h - 9k - 12h + 16k &=& 7\\
7k &=& 7\\
k &=& 1
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
4h - 3(1) &=& 5\\
4h &=& 8\\
h &=& 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น จุด $A$ มีพิกัด $(2,1)$

,

วงลมที่จุดศูนย์กลาง $(2,1)$ ผ่านจุด $(5,5)$ จะได้รัศมียาว

\begin{eqnarray*}
r &=& \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2}\\
&=& \sqrt{9 + 16}\\
&=& \sqrt{25}\\
&=& 5
\end{eqnarray*}

,

ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลากับโฟกัสเป็นสองเท่าของรัศมีวงกลม นั่นคือเท่ากับ $10$ หน่วย

แสดงว่า $c = 10$

เส้นกำกับมีสมการ

\begin{eqnarray*}
3x - 4y &=& 2\\
-4y &=& -3x + 2\\
y &=& \frac{3}{4} x - \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ หรือ $\displaystyle a = \frac{3}{4} b$

จากความสัมพันธ์ $c^2 = a^2 + b^2$

แทนค่า $c = 10$ และ $\displaystyle a = \frac{3}{4} b$ จะได้

\begin{eqnarray*}
10^2 &=& \left ( \frac{3}{4} b \right)^2 + b^2\\
100 &=& \frac{9}{16} b^2 + b^2\\
100 &=& \frac{25}{16} b^2
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ค่า $b$ เป็น

\begin{eqnarray*}
\cancelto{4}{100} &=& \frac{\cancel{25}}{16} b^2\\
64 &=& b^2\\
8 &=& b
\end{eqnarray*}

และจะได้ว่า $\displaystyle a = \frac{3}{4} (8) = 6$

,

ไฮเพอร์โบลามีจุดศูนย์กลาง $(2,1)$ และมี $a = 6, b = 8, c = 10$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} &=& 1\\
\frac{(y - 1)^2}{6^2} - \frac{(x - 2)^2}{8^2} &=& 1\\
\frac{y^2 - 2y + 1}{36} - \frac{x^2 - 4x + 4}{64} &=& 1
\end{eqnarray*}

นำ $4$ คูณตลอด

\begin{eqnarray*}
\frac{y^2 - 2y + 1}{9} - \frac{x^2 - 4x + 4}{16} &=& 4\\
16(y^2 - 2y + 1) - 9(x^2 - 4x + 4) &=& 4(9)(16)\\
16y^2 - 32y + 16 - 9x^2 + 36x - 36 &=& 576\\
-9x^2 + 16y^2 + 36x - 32y - 20 &=& 576
\end{eqnarray*}

จัดรูปใหม่จะได้ $9x^2 - 16y^2 - 36x + 32y + 596 = 0$