กำหนดให้ $f(x) = 12x-9x^3$ สำหรับ $0<x<1$ และ $\sin\theta = a$ เมื่อ $0\leq\theta\leq90^{\circ}$ และ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $f(a)$ เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วง $(0,1)$ แล้ว

$$\dfrac{\left(\cot^2\theta\right)\left(\sec\theta - 1\right)}{1+\sin \theta} +\dfrac{\left(\sec^2\theta\right)\left(\sin\theta - 1\right)}{1+\sec\theta}$$

มีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปพจน์ตรีโกณที่โจทย์ถามก่อน[/STEP]

จัดรูป $\dfrac{\left(\cot^2\theta\right)\left(\sec\theta - 1\right)}{1+\sin \theta} +\dfrac{\left(\sec^2\theta\right)\left(\sin\theta - 1\right)}{1+\sec\theta}$ โดยเปลี่ยนฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดให้อยู่ในรูป $\sin\theta$ กับ $\cos\theta$ โดยเพื่อความสะดวกรวดเร็วจะเขียน $s$ แทน $\sin\theta$ และเขียน $c$ แทน $\cos\theta$ จากนั้นปรับส่วนให้เท่ากันทุกๆ จุด

\begin{eqnarray*}
 & = & \frac{\frac{c^{2}}{s^{2}}\left(\frac{1}{c}-1\right)}{1+s}+\frac{\frac{1}{c^{2}}\left(s-1\right)}{1+\frac{1}{c}}\\
 & = & \frac{\frac{c^{2}}{s^{2}}\left(\frac{1}{c}-\frac{c}{c}\right)}{1+s}+\frac{\frac{s-1}{c^{2}}}{\frac{c}{c}+\frac{1}{c}}\\
 & = & \frac{\frac{c^{2}\left(1-c\right)}{s^{2}c}}{1+s}+\frac{\frac{s-1}{c^{2}}}{\frac{c+1}{c}}
\end{eqnarray*}

ทำให้เหลือเศษส่วนแบบไม่ซ้อนหลายชั้น โดยกลับเศษส่วนของเศษส่วนซ้อนขึ้นไปคูณด้านบน

\begin{eqnarray*}
 & = & \frac{c^{2}\left(1-c\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)}+\frac{s-1}{c^{2}}\cdot\frac{c}{c+1}\\
 & = & \frac{c^{2}\left(1-c\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)}+\frac{\left(s-1\right)c}{c^{2}\left(c+1\right)}\\
 & = & \frac{c\left(1-c\right)}{s^{2}\left(1+s\right)}+\frac{\left(s-1\right)}{c\left(c+1\right)}
\end{eqnarray*}

ปรับส่วนให้เท่ากัน โดยปรับส่วนเป็น $s^2c(1+s)(1+c)$

\begin{eqnarray*}
 & = & \frac{c\left(1-c\right)}{s^{2}\left(1+s\right)}\cdot\frac{c\left(1+c\right)}{c\left(1+c\right)}+\frac{\left(s-1\right)}{c\left(1+c\right)}\cdot\frac{s^{2}\left(1+s\right)}{s^{2}\left(1+s\right)}\\
 & = & \frac{c^{2}\left(1-c\right)\left(1+c\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}+\frac{s^{2}\left(s-1\right)\left(1+s\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}\\
 & = & \frac{c^{2}\left(1-c\right)\left(1+c\right)+s^{2}\left(s-1\right)\left(1+s\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}
\end{eqnarray*}

กระจายผลคูณของตัวเศษแล้วใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณเปลี่ยน $1-\sin^2\theta$ ไปเป็น $\cos^2\theta$ และเปลี่ยน $1-\cos^2\theta$ ไปเป็น $\sin^2\theta$

\begin{eqnarray*}
 & = & \frac{c^{2}\left(1-c^{2}\right)+s^{2}\left(s^{2}-1\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}\\
 & = & \frac{c^{2}\left(s^{2}\right)+s^{2}\left(-c^{2}\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}\\
 & = & \frac{s^{2}c^{2}-s^{2}c^{2}}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งท้ายที่สุดจะเห็นว่าพจน์ตรีโกณมิติที่ซับซ้อนๆ จัดรูปแล้วเหลือค่าเท่ากับ $0$ ดังนั้นไม่ว่าจะได้ค่า $\theta$ ในขั้นตอนก่อนหน้านี้เท่าไหร่ก็แล้วแต่ คำตอบก็ยังคงเท่ากับศูนย์เช่นเดิม

[ANS]$0$[/ANS]

[STEP]คำนวณค่า $\theta$ ในรูป $\arcsin$[/STEP]

ขั้นตอนนี้ไม่มีความจำเป็นต้องทำ แต่แสดงว่าเพื่อความสมบูรณ์ของเฉลยละเอียด

เพื่อหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ $f(x)=12x-9x^3$ ในช่วง $(0,1)$ คำนวณอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองของ $f(x)$

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & 12x-9x^{3}\\
f'\left(x\right) & = & 12-3\left(9x^{2}\right)\\
 & = & 12-27x^{2}
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
f''\left(x\right) & = & 0-2\left(27x\right)\\
 & = & -54x
\end{eqnarray*}

คำนวณค่าวิกฤตโดยแก้สมการ $f'(x)=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f'\left(x\right) & = & 0\\
12-27x^{2} & = & 0\\
12 & = & 27x^{2}
\end{eqnarray*}

หารตลอดด้วย $27$ แล้วตัดด้วย $3$ ให้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ

\begin{eqnarray*}
27x^{2} & = & 12\\
x^{2} & = & \frac{12}{27}\\
x^{2} & = & \frac{\cancelto{4}{12}}{\cancelto{9}{27}}\\
x^{2} & = & \frac{4}{9}
\end{eqnarray*}

เขียน $\frac49$ ให้อยู่ในรูปกำลังสอง แล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้างของสมการ

\begin{eqnarray*}
x^{2} & = & \left(\frac{2}{3}\right)^{2}\\
x & = & \pm\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}

แต่จะเห็นว่ามีเพียง $x=\frac23$ เท่านั้นที่อยู่ในช่วง $(0,1)$ เราจึงถือว่ามีค่าวิกฤตเพียงค่าเดียว คือ $x=\frac23$

ทดสอบค่าวิกฤต โดยแทน $x=\frac23$ ลงใน $f''(x) = -54x$ จะได้

$$f''\left( \frac23 \right) = -54\left(\frac23 \right) < 0$$

ซึ่งมีค่าน้อยกว่าศูนย์ แสดงว่าค่าของ $f\left( \frac23 \right)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ในช่วง $(0,1)$

คำนวณค่าสูงสุดสัมพัทธ์ $f\left( \frac23 \right)$

\begin{eqnarray*}
f\left(\frac{2}{3}\right) & = & 12\left(\frac{2}{3}\right)-9\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\\
 & = & 8-\frac{8}{3}\\
 & = & \frac{24}{3}-\frac{8}{3}\\
 & = & \frac{16}{3}\\
 & \approx & 5.33
\end{eqnarray*}

ในขณะที่ในช่วง $(0,1)$ ไม่มีขอบซ้าย กับขอบขวา ทำให้ค่า $f\left( \frac23 \right)$ น่าจะเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วง $(0,1)$ ไปด้วยเลย แต่เพื่อความมั่นใจ เราจึงทดสอบค่าของฟังก์ชัน $f(x)$ เมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $x<\frac23$ และในช่วง $x>\frac23$ โดยการแทนค่า $x=\frac12$ และ $x=\frac34$ เพื่อมาเปรียบเทียบกับ $f\left( \frac23 \right)$ ตามลำดับ จะได้

\begin{eqnarray*}
f\left(\frac{1}{2}\right) & = & 12\left(\frac{1}{2}\right)-9\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\\
 & = & 6-\frac{9}{8}\\
 & = & \frac{48}{8}-\frac{9}{8}\\
 & = & \frac{39}{8}\\
 & = & 4.875
\end{eqnarray*}

และ 

\begin{eqnarray*}
f\left(\frac{3}{4}\right) & = & 12\left(\frac{3}{4}\right)-9\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\\
 & = & 9-\frac{243}{64}\\
 & = & \frac{576}{64}-\frac{243}{64}\\
 & = & \frac{333}{64}\\
 & \approx & 5.20
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $f\left( \frac23 \right)$ มีค่าสูงสุดในบรรดาทั้งสามค่า ดังนั้นจึงค่อนข้างเชื่อมั่นได้ว่า $f \left( \frac23 \right)$ เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วง $(0,1)$ ของ $f(x) = 12x - 9x^3$ จริง ดังนั้น $a=\frac23$ และ $\sin\theta = \frac23$ ซึ่งจะได้ $\theta = \arcsin \frac23$ นั่นเอง

เมื่อแทนค่าลงในพจน์ตรีโกณมิติ โดยการแทน $\sin \theta = \frac23$, $\sec\theta = \frac{3}{\sqrt5}$ และ $\cot\theta = \frac{\sqrt5}{2}$ ก็จะได้ผลลัพธ์เท่ากับศูนย์เช่นเดียวกัน

[ANS]$0$[/ANS]

ข้อนี้ไม่ต้องหาค่า $a$ กับ $\theta$ ก่อนก็ได้ จัดรูปพจน์ตรีโกณมิติแล้วจะพบว่ามีค่าเท่ากับ $0$ เสมอ จึงตอบ $0$ ได้ทันที

ความรู้ที่ใช้ : สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ การจัดรูปตรีโกณมิติ ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์