,

ทดลองจัดรูปวงเล็บสุดท้ายของ $a_n$ คือ $\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$

$$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) & = & \left(\frac{n^{2}}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\\  & = & \left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\right)\\  & = & \frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{\left(n\right)\left(n\right)} \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่าเมื่อแยกตัวประกอบเสร็จแล้วกลายเป็นผลคูณ-ผลหารของเลขเรียงติดกัน เราจึงคาดเดาว่าเมื่อนำมาคูณกันหลายๆ พจน์ จะมีการตัดกันเสียเป็นส่วนใหญ่ ดังนั้นแต่ละวงเล็บของ $a_n$ เราจะเขียนโดยใช้สูตร $\frac{(n-1)(n+1)}{(n)(n)}$ เช่นพจน์แรกที่ $n=2$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{4}\right) & = & \left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\\  & = & \left(\frac{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}{\left(2\right)\left(2\right)}\right)\\  & = & \frac{\left(1\right)\left(3\right)}{\left(2\right)\left(2\right)} \end{eqnarray*}$$

เป็นต้น

ทำแบบนี้กับทุกๆ วงเล็บของ $a_n$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a_{n} & = & \left(\frac{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}{\left(2\right)\left(2\right)}\right)\left(\frac{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}{\left(3\right)\left(3\right)}\right)\left(\frac{\left(4-1\right)\left(4+1\right)}{\left(4\right)\left(4\right)}\right)\left(\frac{\left(5-1\right)\left(5+1\right)}{\left(5\right)\left(5\right)}\right)\cdot\cdots\cdot\left(\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{\left(n\right)\left(n\right)}\right)\\  & = & \frac{\left(1\right)\left(3\right)}{\left(2\right)\left(2\right)}\cdot\frac{\left(2\right)\left(4\right)}{\left(3\right)\left(3\right)}\cdot\frac{\left(3\right)\left(5\right)}{\left(4\right)\left(4\right)}\cdot\frac{\left(4\right)\left(6\right)}{\left(5\right)\left(5\right)}\cdot\cdots\cdot\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{\left(n\right)\left(n\right)} \end{eqnarray*}$$

จากนั้นเราจะเริ่มตัดตัวเลขที่เหมือนกันเป็นรูปแบบ โดยเริ่มจากการตัดเลข $3$ ทั้งสี่ตัวซึ่งอยู่ที่เศษสองตัว ที่ส่วนสองตัวพอดี

$$a_{n}=\frac{\left(1\right)\left(\bcancel{3}\right)}{\left(2\right)\left(2\right)}\cdot\frac{\left(2\right)\left(4\right)}{\left(\bcancel{3}\right)\left(\cancel{3}\right)}\cdot\frac{\left(\cancel{3}\right)\left(5\right)}{\left(4\right)\left(4\right)}\cdot\frac{\left(4\right)\left(6\right)}{\left(5\right)\left(5\right)}\cdot\cdots\cdot\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{\left(n\right)\left(n\right)}$$

ให้สังเกตรูปแบบในการตัดว่าเริ่มจากวงเล็บขวาบนของพจน์แรกตัดกับวงเล็บซ้ายล่างของพจน์ที่สอง จากนั้นตัดวงเล็บขวาล่างของพจน์ที่สองกับวงเล็บซ้ายบนของพจน์ที่สาม

ตัดเลข $4$ ในลักษณะแบบเดียวกัน

$$a_{n}=\frac{\left(1\right)\left(\bcancel{3}\right)}{\left(2\right)\left(2\right)}\cdot\frac{\left(2\right)\left(\bcancel{4}\right)}{\left(\bcancel{3}\right)\left(\cancel{3}\right)}\cdot\frac{\left(\cancel{3}\right)\left(5\right)}{\left(\bcancel{4}\right)\left(\cancel{4}\right)}\cdot\frac{\left(\cancel{4}\right)\left(6\right)}{\left(5\right)\left(5\right)}\cdot\cdots\cdot\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{\left(n\right)\left(n\right)}$$

แล้วเราก็ตัดเลข $5$ แบบเดียวกันกับเลข $3$ และเลข $4$ แต่คราวนี้เราไม่มีวงเล็บเลข $5$ ตัวสุดท้ายแสดงอยู่ แต่ให้เข้าใจตรงกันว่าที่จริงแล้วเรามีเลข $5$ อยู่ครบ $4$ ตัวและมันจะตัดกันหมดในรูปแบบเดียวกัน ซึ่งท้ายที่สุดจะเกิดการตัดกันไปเรื่อยๆ จนถึงวงเล็บซ้ายบนของพจน์สุดท้าย

$$a_{n}=\frac{\left(1\right)\left(\bcancel{3}\right)}{\left(2\right)\left(2\right)}\cdot\frac{\left(2\right)\left(\bcancel{4}\right)}{\left(\bcancel{3}\right)\left(\cancel{3}\right)}\cdot\frac{\left(\cancel{3}\right)\left(\bcancel{5}\right)}{\left(\bcancel{4}\right)\left(\cancel{4}\right)}\cdot\frac{\left(\cancel{4}\right)\left(6\right)}{\left(\bcancel{5}\right)\left(\cancel{5}\right)}\cdot\cdots\cdot\frac{\cancel{\left(n-1\right)}\left(n+1\right)}{\left(n\right)\left(n\right)}$$

สุดท้ายจะเห็นว่าเหลือเลข $2$ ให้ตัดกันได้ $2$ ตัว และในทำนองเดียวกัน เลข $6$ ก็จะตัดกับอีกตัวที่เราไม่ได้เขียนลงไปเช่นเดียวกัน และจะตัดกันไปเรื่อยๆ จนไปตัดตัวสุดท้ายที่วงเล็บ $(n)$ ซ้ายล่างของพจน์สุดท้าย

$$\begin{eqnarray*} a_{n} & = & \frac{\left(1\right)\left(\bcancel{3}\right)}{\left(2\right)\left({\cancel{2}}\right)}\cdot\frac{\left(\cancel{2}\right)\left(\bcancel{4}\right)}{\left(\bcancel{3}\right)\left(\cancel{3}\right)}\cdot\frac{\left(\cancel{3}\right)\left(\bcancel{5}\right)}{\left(\bcancel{4}\right)\left(\cancel{4}\right)}\cdot\frac{\left(\cancel{4}\right)\left(\bcancel{6}\right)}{\left(\bcancel{5}\right)\left(\cancel{5}\right)}\cdot\cdots\cdot\frac{\cancel{\left(n-1\right)}\left(n+1\right)}{\left(\bcancel{n}\right)\left(n\right)}\\  & = & \frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$$

เราจึงได้รูปทั่วไปของ $a_n = \frac12\cdot\frac{n+1}{n}$

,

แทนค่า $a_n = \frac12\cdot\frac{n+1}{n}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\\  & = & \frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n}\\  & = & \frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$$

แยกลิมิตเป็นสองพจน์

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} & = & \frac{1}{2}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\right)\\  & = & \frac{1}{2}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}1+ \cancelto{0}{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\right)\\  & = & \frac{1}{2}\left(\quad1\quad+\quad0\quad\right)\\  & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$

และเนื่องจากเราต้องตอบเป็นทศนิยมจึงได้ว่า $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \frac12 = 0.5$