,

โจทย์ให้นำกระเบื้อง $7$ แผ่นอย่างน้อยสีละแผ่นมาเรียงเป็นแถวตรง แสดงว่าใน $7$ แผ่นนี้ เราสามารถเลือกมาล่วงหน้าสีละ $1$ แผ่นซึ่งมีทั้งหมด $3$ สี ส่วนที่เหลืออีก $7-3=4$ แผ่น ค่อยเลือกเพิ่มโดยแบ่งเป็น $4$ กรณีดังนี้

เลือกเพิ่ม $\bf{XXXX}$ เป็นสีเดียวกันหมดเลย รวมกับที่เลือกล่วงหน้าจะได้ $XXXXXYZ$
เลือกเพิ่ม $\bf{XXXY}$ เป็นสีหนึ่ง $3$ แผ่น อีกสี $1$ แผ่น รวมกับที่เลือกล่วงหน้าได้ $XXXXYYZ$
เลือกเพิ่ม $\bf{XXYY}$ สองสี สีละ $2$ แผ่น รวมกับที่เลือกล่วงหน้าได้ $XXXYYYZ$
เลือกเพิ่ม $\bf{XXYZ}$ สีหนึ่ง $2$ แผ่น อีกสองสีสีละแผ่น รวมกับที่เลือกล่วงหน้าได้ $XXXYYZZ$

โดยที่ $X,Y,Z$ แทนกระเบื้องสีใดสีก็ได้จากสีแดง สีขาวและสีเขียว และสังเกตว่าท้ายที่สุดจะมีกระเบื้องแต่ละสีไม่เกิน $5$ แผ่นในทุกๆ กรณี

,

กรณี $XXXXXYZ$ แปลว่ามีสี $5$ แผ่น อีกสองสีสีละแผ่น เราจะแบ่งเป็น $2$ ขั้นตอน คือ

1. เลือกสีที่จะใช้ $5$ แผ่น 
   เลือก $1$ สี จากทั้งหมด $3$ สี จะได้จำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{3}{1}$
2. เรียงกระเบื้องที่มีสีในลักษณะ $XXXXXYZ$
   เรียงของ $7$ ชิ้น ที่มีสีซ้ำกัน $5$ ชิ้นได้จำนวนวิธีเท่ากับ $\frac{7!}{5!}$

จะเห็นว่าเราไม่จำเป็นต้องเลือกสีที่เหลืออีกสองสีที่ใช้สีละแผ่น เพราะว่ายังไงเราก็ต้องหยิบสีที่เหลือมาสีละแผ่นอยู่แล้ว การเลือกสีที่เหลือสองสีมาทีละสีจะทำให้มีลำดับของสองแผ่นหลังสุด ซึ่งจะทำให้เกิดการนับซ้ำเมื่อนำมาเรียงแถวตรง

ดังนั้นกรณี $XXXXXYZ$ ได้จำนวนวิธีการเลือกมาเรียงทั้งหมดเท่ากับ

$$\begin{eqnarray*}  & = & \binom{3}{1}\cdot\frac{\cancelto{7\times6}{7!}}{\cancel{5!}}\\  & = & 3\times7\times6\\  & = & 126\text{ วิธี} \end{eqnarray*}$$

,

กรณีนี้เราจะต้องเลือกกระเบื้องสีเดียวกัน $4$ แผ่น และอีกสี $2$ แผ่น ส่วนสีที่เหลือ $1$ แผ่น เนื่องจากว่าจำนวนแผ่นของทั้งสามสีไม่เท่ากันเลย เราจึงต้องเลือกออกมาทีละสีก่อนที่จะนำไปเรียง โดยมีขั้นตอนทั้งหมดดังนี้

1. เลือกสีที่จะใช้ $4$ แผ่น
   เลือก $1$ สีจากทั้งหมด $3$ สี ได้ $\binom{3}{1}$ วิธี
2. เลือกสีที่จะใช้ $2$ แผ่น
   เลือก $1$ สีจากที่เหลืออีก $2$ สี ได้ $\binom{2}{1}$ วิธี
3. อีก $1$ สีที่จะใช้ $1$ แผ่น ไม่ต้องเลือกแล้ว
   เนื่องจากเหลืออีกเพียงสีเดียว จึงไม่ต้องเลือก
4. เรียงกระเบื้องที่มีสีในลักษณะ $XXXXYYZ$
   เรียงของ $7$ ชิ้น ที่มีสีซ้ำกัน $4$ ชิ้น และ $2$ ชิ้น ได้เท่ากับ $\frac{7!}{4!2!}$

จะได้ว่ากรณี $XXXXYYZ$ ได้จำนวนวิธีเลือกมาเรียงเท่ากับ

$$\begin{eqnarray*}  & = & \binom{3}{1}\times\binom{2}{1}\times\frac{\cancelto{7\times6\times5}{7!}}{\cancel{4!}2!}\\  & = & 3\times\cancel{2}\times\frac{7\times6\times5}{\cancel{2}}\\  & = & 630\text{ วิธี} \end{eqnarray*}$$

,

กรณีนี้เราจะต้องเลือกกระเบื้อง $2$ สีที่จะเอามาสีละสามแผ่น สรุปเป็นขั้นตอนดังนี้

1. เลือก $2$ สีที่จะใช้สีละสามแผ่น
   เลือก $2$ สีจากทั้งหมด $3$ สี ได้ $\binom{3}{2}$ วิธี
2. อีก $1$ สีที่เหลือไม่ต้องเลือก
   เนื่องจากเหลือสีสุดท้ายสีเดียว จึงไม่ต้องเลือกแล้ว
3. เรียงกระเบื้องที่มีสีลักษณะ $XXXYYYZ$
   เรียงของ $7$ ชิ้น ที่มีสีซ้ำกัน $3$ ชิ้น และอีกสีซ้ำกัน $3$ ชิ้น ได้ทั้งหมด $\frac{7!}{3!3!}$ วิธี

จะได้จำนวนวิธีการเลือกมาเรียงในกรณี $XXXYYYZ$ เท่ากับ

$$\begin{eqnarray*}  & = & \binom{3}{2}\times\frac{\cancelto{7\times6\times5\times4}{7!}}{\cancel{3!}3!}\\  & = & 3\times\frac{7\times\cancel{6}\times5\times4}{\cancel{3\times2}}\\  & = & 3\times7\times5\times4\\  & = & 420 \end{eqnarray*}$$

,

เราจะต้องเลือกสีที่ใช้สามแผ่นมา $1$ สี ส่วนที่เหลือไม่ต้องเลือกเพิ่ม แค่หยิบมาสีละสองแผ่น จึงแบ่งเป็นสองขั้นตอน คือ

1. เลือกสีที่จะใช้สามแผ่นมา $1$ สี
   เลือก $1$ สีจากทั้งหมด $3$ สี ได้ $\binom{3}{1}$ วิธี
2. เรียงกระเบื้องที่มีสีในลักษณะ $XXXYYZZ$
   เรียงของ $7$ ชิ้น ที่มีสีหนึ่งซ้ำกัน $3$ ชิ้น อีกสี $2$ ชิ้น และสีที่เหลือซ้ำกัน $2$ ชิ้น จะได้จำนวนวิธีในการเรียงเท่ากับ $\frac{7!}{3!2!2!}$ วิธี

คำนวณจำนวนวิธีของกรณี $XXXYYZZ$ ได้เท่ากับ

$$\begin{eqnarray*}  & = & \binom{3}{1}\times\frac{7!}{3!2!2!}\\  & = & 3\times\frac{7\times6\times5\times4}{2\times2}\\  & = & 3\times7\times6\times5\\  & = & 630\text{ วิธี} \end{eqnarray*}$$

,

จากทั้งสี่กรณี เราจะได้จำนวนวิธีเลือกกระเบื้อง $7$ แผ่นมาเรียงตามที่โจทย์ต้องการเท่ากับ

$$\begin{eqnarray*}  & = & 126+630+420+630\\  & = & 1806\text{ วิธี} \end{eqnarray*}$$