,

จะเห็นว่าโจทย์ต้องการทราบค่าตัวแปร $a$ กับ $b$ เพื่อเอาไปใช้คำนวณ $15a+30b$ เราจึงคาดว่าจะต้องใช้สมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a$ กับ $b$ ถึงสองสมการ จึงเริ่มต้นจากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ $f(x)$ มีความต่อเนื่องที่ $x=0$ แสดงว่า

$$f(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-} f(x) =\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)$$

เราจึงต้องคำนวณทั้งสามค่าแล้วจับมาเท่ากันจะได้สมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a$ กับ $b$

,

คำนวณ $\bf{f(0)}$
เริ่มจากตัวที่คำนวณง่ายที่สุด คือ $f(0)$ โดยการแทนค่า $x=0$ ลงไปในเงื่อนไขกลางของฟังก์ชัน $f(x)$ แต่เนื่องจากไม่มีตัวแปร $x$ ให้แทน เราจึงได้ $f(0) = a+b$ ได้เลย

คำนวณ $\displaystyle\bf{\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)}$

เนื่องจาก $x\rightarrow0^-$ แสดงว่า $x$ ที่เราพิจารณามีค่า $x<0$ เราจึงเลือกใช้ฟังก์ชัน $f(x) = e^{2x} + 2a$ มาแทนในการคำนวณลิมิตทางซ้ายนี้ จากนั้นใช้เทคนิคแทนค่า $x=0$ ลงไปก็ได้ค่าของลิมิตที่ต้องการทันที

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right) & = & \lim_{x\rightarrow0^{-}}e^{2x}+2a\\
 & = & e^{2\left(0\right)}+2a\\
 & = & 1+2a
\end{eqnarray*}

คำนวณ $\displaystyle\bf{\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)}$

กรณีนี้ $x\rightarrow0^+$ ดังนั้น $x>0$ เราจึงเลือกเงื่อนไขล่างสุด คือ $f(x) = \dfrac{\sqrt{1+bx+5x^2}-1}{x}$ มาใช้ในการคำนวณลิมิตทางขวาของ $x=0$

$$\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right) = \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\sqrt{1+bx+5x^{2}}-1}{x}$$

เมื่อทดลองใช้เทคนิคแทนค่าพบว่าจะได้อยู่ในรูป $\frac00$

\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{1+b\left(0\right)+5\left(0\right)^{2}}-1}{\left(0\right)} & = & \frac{\sqrt{1}-1}{0}\\
 & = & \frac{1-1}{0}\\
 & = & \frac{0}{0}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงต้องจัดรูปก่อนโดยการคูณด้วยคอนจูเกทก่อน คือ คูณด้วย $\sqrt{1+bx+5x^2}+1$ ทั้งเศษและส่วนนั่นเอง

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right) & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\sqrt{1+bx+5x^{2}}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+bx+5x^{2}}+1}{\sqrt{1+bx+5x^{2}}+1}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\left(\sqrt{1+bx+5x^{2}}\right)^{2}-1^{2}}{x\left(\sqrt{1+bx+5x^{2}}+1\right)}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\left(1+bx+5x^{2}\right)-1}{x\left(\sqrt{1+bx+5x^{2}}+1\right)}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{bx+5x^{2}}{x\left(\sqrt{1+bx+5x^{2}}+1\right)}
\end{eqnarray*}

สังเกตว่าถ้าหากเราใช้เทคนิคแทนค่า $x=0$ ตอนนี้ พจน์ที่จะทำให้เกิดส่วนเป็นศูนย์ คือ $x$ ที่อยู่ตรงตัวส่วน เราจึงต้องพยายามตัดพจน์นี้ออกไป โดยการดึงตัวร่วม $x$ จากตัวเศษออกแล้วตัดกับ $x$ ที่ตัวส่วน

\begin{eqnarray*}
 & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x\left(b+5x\right)}{x\left(\sqrt{1+bx+5x^{2}}+1\right)}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{b+5x}{\sqrt{1+bx+5x^{2}}+1}
\end{eqnarray*}

จากนั้นใช้เทคนิคการแทนค่า $x=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right) & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{b+5x}{\sqrt{1+bx+5x^{2}}+1}\\
 & = & \qquad\frac{b+5\left(0\right)}{\sqrt{1+b\left(0\right)+5\left(0\right)^{2}}+1}\\
 & = & \frac{b}{\sqrt{1}+1}\\
 & = & \frac{b}{2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}f(x) }= \frac{b}{2}$ และจากด้านบน จะได้ $f(0) = a+b$ และ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}f(x) = 1+2a$

ซึ่งจากขั้นตอนที่แล้วเราทราบมาว่าค่าทั้งสามนี้จะต้องมีค่าเท่ากัน นั่นคือ

$$\frac{b}{2}=a+b=1+2a$$

,

จากขั้นตอนที่แล้ว เราได้สมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a$ กับ $b$ เป็น $\frac{b}{2}=a+b=1+2a$ เราจะเลือกจับคู่เป็นสองสมการดังนี้

\begin{eqnarray*}
\frac{b}{2} & = & 1+2a\quad\cdots\left(1\right)\\
a+b & = & 1+2a\quad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

โดยเราจะเริ่มจากการนำสมการแรกมาคูณ $2$ ตลอด แล้วย้ายข้างหาค่าของ $b$ ในเทอมตัวแปร $a$ 

\begin{eqnarray*}
\cancel{2}\left(\frac{b}{\cancel{2}}\right) & = & 2\left(1+2a\right)\\
b & = & 2+4a\\
\end{eqnarray*}

จากนั้นเราจะแทนค่า $b=2+4a$ ลงในสมการ $(2)$

\begin{eqnarray*}
a+\left(2+4a\right) & = & 1+2a\\
5a+2 & = & 1+2a\\
5a-2a & = & 1-2\\
3a & = & -1\\
a & = & -\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a=-\frac13$ ลงในสมการ $b=2+4a$ จะได้

\begin{eqnarray*}
b & = & 2+4\left(-\frac{1}{3}\right)\\
 & = & 2-\frac{4}{3}\\
 & = & \frac{6}{3}-\frac{4}{3}\\
 & = & \frac{2}{3}
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ค่า $a=-\frac13$ และ $b=\frac23$ ซึ่งเมื่อแทนลงในเทอมที่โจทย์ถามจะได้

\begin{eqnarray*}
15a+30b & = & 15\left(-\frac{1}{3}\right)+30\left(\frac{2}{3}\right)\\
 & = & \cancelto{5}{15}\left(-\frac{1}{\cancel{3}}\right)+\cancelto{10}{30}\left(\frac{2}{\cancel{3}}\right)\\
 & = & 5\left(-1\right)+10\left(2\right)\\
 & = & -5+20\\
 & = & 15
\end{eqnarray*}