กำหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง ซึ่ง $f'(x) = \dfrac{2x^4 - x}{x^3}$ เมื่อ $x\neq0$, $\quad g(x) = \left( 1 + x^2 \right) f(x) $ และ $g(1) = 2$

แล้วค่าของ $\displaystyle \int_{-1}^2 x^3 \,g''(x) \,dx$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP] ดิฟสองครั้งเพื่อคำนวณ $g^{\prime\prime}(x)$[/STEP]

จากอินทิกรัลที่โจทย์ถาม $\displaystyle\int_{-1}^2 x^3 g''(x)\,dx$ จะเห็นว่าเราต้องนำ $g''(x)$ มาใช้ในการคำนวณ เราจึงต้องหา $g''(x)$ ออกมาให้ได้ก่อน

จาก $g(x)=(1+x^2)f(x)$ ใช้สูตรดิฟผลคูณได้

\begin{eqnarray*}
g'(x)&=&(1+x^2)f'(x)+f(x)(2x)
\end{eqnarray*}

จากนั้นดิฟต่ออีก $1$ ครั้ง

\begin{eqnarray*}
g^{\prime\prime}(x)&=&[(1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+f'(x)(2x)]+[f(x)(2)+(2x)f'(x)]\\
&=&2f(x)+4xf'(x)+(1+x^2)f''(x)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $g''(x)$ ที่เราต้องการติด $f(x)$ และ $f'''(x)$ ที่โจทย์ไม่ได้ให้มาตรงๆ เราจึงต้องคำนวณหา $f(x)$ และ $f''(x)$ ต่อไป

[STEP] อินทิเกรต $f'(x)$ เพื่อคำนวณฟังก์ชัน $f(x)$ [/STEP]

โจทย์กำหนด $f'(x)$ มาให้ เราจึงอินทิเกรตเพื่อให้ได้ $f(x)$

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\int f'(x) dx\\
&=& \int \dfrac{2x^4 - x}{x^3} dx\\
&=&\int \left( {2x}-\dfrac{1}{x^2} \right) dx\\
&=&x^2+\frac{1}{x}+c
\end{eqnarray*}

ใช้เงื่อนไข $g(1) = 2$ หาค่า $c$ โดยแทนค่า $x=1$ ลงใน $f(x) = x^2 +\frac1x+c$

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x^2+\frac{1}{x}+c\\
f(1)&=&1^2+\frac{1}{1}+c\\
f(1) &=& 2+c
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่ายังหาค่า $c$ ออกมาไม่ได้เพราะติดที่เราไม่ทราบค่า $f(1)$ ดังนั้นเพื่อหาค่า $f(1)$ เราจึงแทนค่า $x=1$ ลงในสมการ $g(x) = \left( 1 + x^2 \right) f(x)$

\begin{eqnarray*}
g(x)&=& \left( 1 + x^2 \right) f(x)\\
g(1)&=&(1+1^2)f(1)\\
2&=&2f(1)\\
f(1)&=&1
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ $f(1) = 1$ แล้วแทนค่าลงในสมการที่ใช้หาค่า $c$ คือ $f(1) = 2+c$

\begin{eqnarray*}
f(1) &=& 2+c\\
(1) &=& 2+c\\
1-2 &=& c\\
c &=& -1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น เมื่อแทนค่า $c=-1$ ลงใน $f(x) = x^2 +\frac1x +c$ ก็จะได้ฟังก์ชัน $f(x)$ ตามที่เราต้องการ

$$f(x)=x^2+\frac{1}{x}-1$$

[STEP] ดิฟ $f'(x)=\frac{2x^4-x}{x^3}$ เพื่อคำนวณ $f''(x)$ [/STEP]

จากขั้นตอนแรกที่เราคำนวณ $g''(x)$ ไว้ พบว่ายังคงติด $f''(x)$ เราจึงต้องคำนวณ $f''(x)$

จาก $f'(x)= \dfrac{2x^4 - x}{x^3}$ แยกเศษส่วนเป็นสองพจน์แล้วเขียนแต่ละพจน์ในรูปเลขยกกำลังเพื่อให้ดิฟง่ายขึ้น

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac{2x^4}{x^3} - \frac{x}{x^3}\\
&=& 2x - \frac{1}{x^2}\\
&=& 2x - x^{-2}
\end{eqnarray*}

ดิฟทั้งสองข้างของสมการด้านบน

\begin{eqnarray*}
f''(x) &=& \frac{d}{dx} \left( 2x - x^{-2} \right) \\
&=& \frac{d}{dx} 2x - \frac{d}{dx} x^{-2}\\
&=& 2 - (-2)x^{-3}\\
&=& 2 + \frac{2}{x^3}
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ $f''(x) = 2+\frac{2}{x^3}$

[STEP] คำนวณค่าอินทิกรัล $\displaystyle\int_{-1}^2 x^3 g''(x)\,dx$ [/STEP]

จาก $g''(x)=2f(x)+4xf'(x)+(1+x^2)f''(x)$ ในขั้นตอนแรก แทนค่า

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^2 +\frac1x -1,\\
f'(x) &=& \frac{2x^4-x}{x^3} \text{ และ}\\
f''(x) &=& 2+\frac{2}{x^3}
\end{eqnarray*}

ลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
g''(x)&=&2\left(x^2+\frac{1}{x}-1\right)+4x\left(\frac{2x^4-x}{x^3}\right)+(1+x^2)\left(2+\frac{2}{x^3}\right)\\
&=&2x^2+\frac{2}{x}-2+8x^2-\frac{4}{x}+2+\frac{2}{x^3}+2x^2+\frac{2}{x}\\
&=&12x^2+\frac{2}{x^3}
\end{eqnarray*}

คำนวณค่าอินทิกรัล $\displaystyle\int_{-1}^2 x^3 g''(x)\,dx$

\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2} x^3g''(x) dx&=&\int_{-1}^{3}x^3\left(12x^2+\frac{2}{x^3}\right) dx\\
&=&\int_{-1}^{3}\left( 12x^5+2 \right)dx\\
&=& \left.\left[ 2x^6+2x \right] \right|_{-1}^{2}\\
&=&[128+4]-[2-2]\\
&=&132
\end{eqnarray*}

[ANS]$132$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่ การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต อนุพันธ์แบบปริยาย