,

โจทย์กำหนดให้ $\bar{x} = 40$ และมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันหรือที่เรียกอีกอย่างหนึ่งว่าสัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งมีสูตรใช้คำนวณเป็น $$c.s. = \frac{s}{\bar{x}}$$

แทนค่า $\bar{x} = 40$ และ $c.s. = 0.125$ จะได้

\begin{eqnarray*}
c.s. & = & \frac{s}{\bar{x}}\\
0.125 & = & \frac{s}{40}\\
0.125\times40 & = & s\\
s & = & 5
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าเท่ากับ $s=5$ และมีความแปรปรวนเท่ากับ $s^2 = 25$ นั่นเอง

,

คาดเดาว่านาย ก. น่าจะคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตผิด ทำให้นำค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่คำนวณผิดนั้นมาใช้ในการคำนวณความแปรปรวนต่อ ทำให้ความแปรปรวนใหม่ที่ได้มีค่าผิดไปเป็น $34$ นั่นเอง

สมมุติว่านาย ก. คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เท่ากับ $a$ (ซึ่งโจทย์บอกว่ามีค่าน้อยกว่า $40$)

พิจารณาสูตรที่นาย ก. ใช้ในการคำนวณความแปรปรวน (ให้แทนด้วย $s_{\text{ก}}^2$) ซึ่งก็คือ

\begin{eqnarray*}
s_{\text{ก}}^{2} & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{60}}\left(x_{i}-a\right)^{2}}{60}\\
 & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{60}}\left(x_{i}^{2}-2ax_{i}+a^{2}\right)}{60}\\
 & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{60}x_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{60}2ax_{i}+\sum_{i=1}^{60}a^{2}}}{60}
\end{eqnarray*}

ดึง $2a$ และ $a^2$ ออกมาด้านหน้า $\sum$ เพราะเป็นค่าคงตัว

\begin{eqnarray*}
s_{\text{ก}}^{2} & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{60}x_{i}^{2}-2a\sum_{i=1}^{60}x_{i}+a^{2}\sum_{i=1}^{60}1}}{60}\\
 & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{60}x_{i}^{2}-2a\sum_{i=1}^{60}x_{i}+a^{2}\left(60\right)}}{60}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าเหมือนกับสูตรคำนวณความแปรปรวน แต่ต่างกันตรงที่ตรงตำแหน่งของ $a$ จะต้องเป็น $\bar{x}$ เท่านั้น เราจึงจัดรูปให้เกิดสูตรความแปรปรวน

\begin{eqnarray*}
s_{\text{ก}}^{2} & = &  \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{60}x_{i}^{2}}}{60}+\frac{{\displaystyle -2a\sum_{i=1}^{60}x_{i}+a^{2}\left(60\right)}}{60}\\
 & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{60}x_{i}^{2}-2\bar{x}\sum_{i=1}^{60}x_{i}+\bar{x}^{2}\left(60\right)}}{60}-\frac{{\displaystyle -2\bar{x}\sum_{i=1}^{60}x_{i}+\bar{x}^{2}\left(60\right)}}{60}+\frac{{\displaystyle -2a\sum_{i=1}^{60}x_{i}+a^{2}\left(60\right)}}{60}\\
s_{\text{ก}}^{2} & = & s^{2}-\frac{{\displaystyle -2\bar{x}\sum_{i=1}^{60}x_{i}+\bar{x}^{2}\left(60\right)}}{60}+\frac{{\displaystyle -2a\sum_{i=1}^{60}x_{i}+a^{2}\left(60\right)}}{60}\quad\cdots(\star)
\end{eqnarray*}

จากสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต 

\begin{eqnarray*}
\bar{x} & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{60}x_{i}}}{n}\\
\bar{x}\cdot n & = & \sum_{i=1}^{60}x_{i}\\
\sum_{i=1}^{60}x_{i} & = & \left(40\right)\left(60\right)
\end{eqnarray*}

เราจึงแทนค่า $s_{\text{ก}}^2 = 34$, $\bar{x} = 40$, $s^2 = 25$ และ $\sum_{i=1}^{60}x_i = (40)(60)$ ลงในสมการ $(\star)$

\begin{eqnarray*}
s_{\text{ก}}^{2} & = & s^{2}-\frac{{\displaystyle -2\bar{x}\sum_{i=1}^{60}x_{i}+\bar{x}^{2}\left(60\right)}}{60}+\frac{{\displaystyle -2a\sum_{i=1}^{60}x_{i}+a^{2}\left(60\right)}}{60}\\
34 & = & 25-\frac{-2\left(40\right)\left(40\right)\left(60\right)+\left(40\right)^{2}\left(60\right)}{60}+\frac{-2a\left(40\right)\left(60\right)+a^{2}\left(60\right)}{60}\\
34-25 & = & -\frac{\cancel{\left(60\right)}\left[-2\left(40\right)^{2}+\left(40\right)^{2}\right]}{\cancel{60}}+\frac{\bcancel{\left(60\right)}\left[-2a\left(40\right)+a^{2}\right]}{\bcancel{60}}\\
9 & = & -\left(-\left(40\right)^{2}\right)-80a+a^{2}
\end{eqnarray*}

ย้ายทุกพจน์ไปด้านขวา แล้วแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ

\begin{eqnarray*}
9 & = & \left(40\right)^{2}-80a+a^{2}\\
0 & = & a^{2}-80a+1600-9\\
0 & = & a^{2}-80a+1591\\
0 & = & \left(a-37\right)\left(a-43\right)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $a=37$ หรือ $a=43$ แต่โจทย์บอกว่า $a<40$ ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่นาย ก. คำนวณได้มาผิดมีค่าเท่ากับ $37$ นั่นเอง