,

ในการแก้โจทย์ปัญหากำหนดการเชิงเส้น เราจะต้องวิเคราะห์ว่าอะไร คือ ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดที่โจทย์ต้องการ สิ่งนั้นจะเป็นสมการจุดประสงค์ของเรา ซึ่งในที่นี้ทุกช้อยส์พูดถึงกำไรสูงสุด เราจึงทราบว่าสมการจุดประสงค์ของเรา คือ กำไรนั่นเอง  จากนั้นเราจะต้องพิจารณาตัวแปรของอสมการข้อจำกัด โดยสามารถสังเกตได้จากช้อยส์เช่นเดียวกัน คือ ช้อยส์พูดถึงจำนวนไร่ที่จะปลูกมัน กับ จำนวนไร่ที่จะปลูกสับปะรด เราจึงกำหนดตัวแปรเป็นจำนวนไร่ที่จะปลูกพืชแต่ละชนิดดังนี้

\begin{eqnarray*}
x&&\text{ แทนจำนวนไร่ที่ปลูกมัน }\\
y&&\text{ แทนจำนวนไร่ที่ปลูกสับปะรด}\\
\end{eqnarray*}

จากข้อมูลที่ว่า นาย ก. วางแผนจะปลูกมันหรือสับปะรดบนที่ดิน $150$ ไร่ เราจะต้องตีความว่านาย ก. ไม่จำเป็นต้องปลูกครบทั้ง $150$ ไร่ แต่นาย ก. มีสามารถปลูกพืชทั้งสองชนิดรวมกันได้สูงสุด $150$ ไร่ ซึ่งเขียนเป็นอสมการได้เป็น

$$x+y\leq 150$$

จากนั้นดูเงื่อนไขต่อไป ซึ่งจากโจทย์จะระบุมาอีกสองเงื่อนไข คือ ราคาต้นกล้า และ แรงงาน

คำนวณค่าต้นกล้า 

ปลูกมัน $x$ ไร่ จะต้องลงทุนค่าต้นกล้าไร่ละ $200$ บาท คิดเป็นเงิน $200x$ บาท
และ ปลูกสับปะรด $y$ ไร่ จะต้องลงทุนค่าต้นกล้าไร่ละ $300$ บาท คิดเป็นเงิน $300y$ บาท

โดยที่นาย ก. มีเงินลงทุนต้นกล้า $40,000$ บาท ซึ่งก็คือ ค่าต้นกล้ารวมกันทั้งสองชนิดจะต้องไม่เกิน $40,000$ บาท เขียนเป็นอสมการ

$$200x+300y\leq40000$$

หารด้วย $100$ ตลอดได้ 

$$2x+3y\leq 400$$

คำนวณชั่วโมงของแรงงานที่ต้องใช้

โจทย์พูดถึงจำนวนชั่วโมงของแรงงานต่อไร่ในการปลูกพื้นทั้งสองชนิด เราจึงนำมาคำนวณแรงงานทั้งหมดที่ต้องใช้ปลูกพื้ชดังนี้

ปลูกมัน $x$ ไร่ จะต้องใช้แรงงานไร่ละ $10$ ชั่วโมง รวมเป็น $10x$ ชั่วโมง
ปลูกสับปะรด $y$ ไร่ จะต้องใช้แรงงานไร่ละ $12.5$ ชั่วโมง รวมเป็น $12.5y$ ชั่วโมง

แต่นาย ก. มีแรงงานรวมทั้งหมดไม่เกิน $1,850$ ชั่วโมง จึงเขียนอสมการได้เป็น

$$10x+12.5y\leq 1850$$

นอกจากนี้แล้วเรายังต้องกำหนดอีกว่า $x\geq 0 $ และ $y\geq 0$ เพราะว่าจำนวนไร่จะต้องไม่ติดลบ เมื่อนำอสมการข้อจำกัดทั้งหมดมาเขียนรวมกัน เราจึงได้

\begin{eqnarray*}
x+y&\leq&150\\
2x+3y&\leq& 400\\
10x+12.5y&\leq& 1850\\
x&\geq&0\\
y&\geq&0
\end{eqnarray*}

,

จากที่เราปลูกพืชสองชนิด กำไรจึงมาจากพืชสองชนิดนี้ 

$$\text{กำไร }=\text{ กำไรจากการปลูกมัน } + \text{ กำไรจากการปลูกสับปะรด }$$

โจทย์ให้มาว่า ถ้าปลูกมันจะได้กำไรไร่ละ $1,500$ บาท  ถ้าปลูกสับปะรดจะได้กำไรไร่ละ $2,000$ บาท ทำให้ได้สมการจุดประสงค์หรือกำไร คือ

$$P(x,y)=1500x+2000y$$

,

วาดกราฟพร้อมทั้งแรเงาส่วนที่ซ้ำกัน ได้

จากรูปจะได้ว่ามีจุดมุมทั้งหมด $4$ จุด 

จุด $A$ เกิดจากการตัดกันของเส้นตรง $2x+3y=400$ และ $x=0$ ได้ว่าจุดตัด คือ $(0,\frac{400}{3})$

จุด $B$ เกิดจากการตัดกันของเส้นตรง $2x+3y=400$ และ $x+y=150$ แก้ระบบสมการหาจุดตัด

\begin{eqnarray*}
2x+3y&=&400\qquad\cdots(1)\\
x+y&=&150\qquad\cdots(2)\\
\end{eqnarray*}

$2$ คูณสมการที่ $(2)$ 

$$2x+2y=300\qquad\cdots(3)$$

นำ สมการที่ $(1)$ ลบ สมการที่ $(3)$ ได้

$$y=100$$ 

นำ $y$ แทนในสมการที่ $(2)$ 

$$x=50$$

ดังนั้นจุด $B$ คือ $(50,100)$

จุด $C$ คือ จุดตัดระว่างเส้นตรง $x+y=150$ และเส้นตรง $y=0$ ได้ว่าจุด $C$ คือ $(150,0)$

และจุด $D$ คือ จุดกำเนิด $(0,0)$

,

ดังนั้นจะเห็นว่า กำไรสูงสุดอยู่ที่จุด $B(50,100)$ จึงสรุปได้ว่า ปลูกมัน $50$ ไร่ และปลูกสับปะรด $100$ ไร่ จะได้กำไรสูงสุด $275,000$ บาท