,

จากข้อมูลวงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(4,-1)$ และมีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ $(1,-1)$ ซึ่งจุดโฟกัสกับจุดศูนย์กลางเรียงกันในแนวนอนแสดงว่าเป็นวงรีแนวนอน โดยที่วงรีนี้จะต้องผ่านจุด $(8,0)$ ด้วย จึงวาดรูปประกอบได้ดังนี้

จากนั้นโจทย์บอกว่าพาราโบลามีโฟกัสที่จุดปลายแกนโทของวงรีในควอดรันต์ที่ $1$ และมีเส้นไดเรกตริกซ์ทับบนแกนเอกของวงรี เราจึงทราบว่าเส้นไดเรกตริกซ์ของวงรีมีสมการเป็น $y=-1$ ดังรูป

จากรูปโฟกัสอยู่เหนือเส้นไดเรกตริกซ์เราจึงพอเดาได้ว่าเป็นพาราโบลาหงาย ดังรูป

,

จากรูปพาราโบลาในขั้นตอนที่แล้ว หากเราทราบจุดปลายแกนโทของวงรีในควอดรันต์ที่ $1$ จะทำให้เราสามารถหาจุดยอดและค่า $c$ ของพาราโบลาได้ ดังนั้นเราจึงต้องหาค่า $b$ ของวงรีก่อน

จากรูปวงรี เราทราบว่าเป็นวงรีแนวนอน มีจุดศูนย์กลางเป็น $(4,-1)$ และมีระยะโฟกัสเป็น $c=4-1 = 3$ 

ดังนั้นเราจึงเขียนสมการวงรีได้เป็น

$$\frac{(x-4)^2}{a^2} + \frac{(y+1)^2}{b^2} = 1$$

จะเห็นว่าสมการวงรีติดตัวแปรค่าคงตัว $a$ กับ $b$ ถึงสองตัว ในขณะที่เงื่อนไขที่บอกว่าวงรีผ่านจุด $(8,0)$ มีเพียงเงื่อนไขเดียว เราจึงต้องหาเงื่อนไขเพิ่มเติมจากค่า $c=3$ ของวงรี โดยพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร $a,b,c$ ของวงรี แล้วแทนค่า $c=3$ ลงไป จะได้

$$\begin{eqnarray*} a^{2} & = & b^{2}+c^{2}\\ a^{2} & = & b^{2}+3^{2}\\ a^{2} & = & b^{2}+9 \end{eqnarray*}$$

เราจึงได้ความสัมพันธ์ระหว่าง $a$ กับ $b$ เป็น $a^2 = b^2 +9$ จากนั้นจึงแทนลงไปในสมการของวงรีจะได้

$$\begin{eqnarray*} \frac{\left(x-4\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y+1\right)^{2}}{b^{2}} & = & 1\\ \frac{\left(x-4\right)^{2}}{b^{2}+9}+\frac{\left(y+1\right)^{2}}{b^{2}} & = & 1 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะได้สมการที่ติดตัวแปรค่าคงตัวเพียงตัวแปรเดียว คือ $b$ เราจึงสามารถใช้เงื่อนไขที่บอกว่าวงรีนี้ผ่านจุด $(8,0)$ แทนลงไปในสมการนี้เพื่อหาค่า $b$ ได้ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} \frac{\left(x-4\right)^{2}}{b^{2}+9}+\frac{\left(y+1\right)^{2}}{b^{2}} & = & 1\\ \frac{\left(8-4\right)^{2}}{b^{2}+9}+\frac{\left(0+1\right)^{2}}{b^{2}} & = & 1\\ \frac{4^{2}}{b^{2}+9}+\frac{1^{2}}{b^{2}} & = & 1\\ \frac{16}{b^{2}+9}+\frac{1}{b^{2}} & = & 1 \end{eqnarray*}$$

ปรับส่วนให้เท่ากันโดยคูณด้วย $b^2+9$ และ $b^2$ ตลอด

$$\begin{eqnarray*} \frac{16}{b^{2}+9}+\frac{1}{b^{2}} & = & 1\\ b^{2}\left(b^{2}+9\right)\cdot\frac{16}{b^{2}+9}+b^{2}\left(b^{2}+9\right)\cdot\frac{1}{b^{2}} & = & b^{2}\left(b^{2}+9\right)\\ 16b^{2}+b^{2}+9 & = & b^{4}+9b^{2}\\ 0 & = & b^{4}-8b^{2}-9 \end{eqnarray*}$$

แยกตัวประกอบโดยเริ่มจากแยกเป็น $(b^2+\quad)(b^2 +\quad)$ ก่อน แล้วจึงแยกตัวประกอบต่ออีกครั้ง

$$\begin{eqnarray*} b^{4}-8b^{2}-9 & = & 0\\ \left(b^{2}-9\right)\left(b^{2}+1\right) & = & 0\\ \left(b-3\right)\left(b+3\right)\left(b^{2}+1\right) & = & 0 \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่า $b$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเพียงค่าเดียว คือ $b=3$ นั่นเอง

ดังนั้นจุดปลายแกนโทของวงรีที่อยู่ในควอดรันต์ที่ $1$ จะต้องขยับขึ้นบนจากจุดศูนย์กลางไป $b=3$ หน่วย คือ จุด $(4,-1+3) = (4,2)$ นั่นเอง

,

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่าจุดปลายแกนโทของวงรีในควอดรันต์ที่ $1$ คือ จุด $(4,2)$ ดังนั้นโฟกัสของพาราโบลามีพิกัดเป็น $(4,2)$ ดังรูป

ซึ่งเราสามารถหาค่า $c$ ของพาราโบลาได้จากการวัดระยะจากโฟกัสไปยังไดเรกตริกซ์ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ $2c$ นั่นคือ

$$\begin{eqnarray*} 2c & = & 2-\left(-1\right)\\ 2c & = & 3\\ c & = & \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$$

เมื่อเราทราบแล้วว่า $c=\frac32$ เราจึงเลื่อนจุดโฟกัสลง $c=\frac32$ หน่วย ซึ่งจะได้จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ $\left(4,2-\frac32\right)=(4,\frac12)$ พอดี

จากนั้นเราจึงสร้างสมการพาราโบลาหงายที่มีจุดยอดอยู่ที่ $\left(4,\frac12\right)$ และมีค่า $c=\frac32$ ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} 4c\left(y-k\right) & = & \left(x-h\right)^{2}\\ 4\left(\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right) & = & \left(x-4\right)^{2}\\ 6\left(y-\frac{1}{2}\right) & = & \left(x-4\right)^{2} \end{eqnarray*}$$

ทำให้อยู่ในรูปทั่วไปโดยการกระจายกำลังสอง $(x-4)^2$ แล้วย้ายพจน์ $6\left(y-\frac12\right)$ ไปด้านเดียวกับ $(x-4)^2$ 

$$\begin{eqnarray*} \left(x-4\right)^{2} & = & 6\left(y-\frac{1}{2}\right)\\ x^{2}-8x+16 & = & 6y-3\\ x^{2}-8x+16-6y+3 & = & 0\\ x^{2}-8x-6y+19 & = & 0 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งสมการที่ได้ตรงกับช้อยส์สุดท้ายพอดี