,

จากที่โจทย์ให้ผลคูณเมทริกซ์ $AB$ และ $ABA$ มา เราจึงสามารถคำนวณเมทริกซ์ $A$ ได้จากการคูณด้วย $(AB)^{-1}$ ทางซ้ายของ $ABA$

คำนวณ $(AB)^{-1}$

จาก $AB=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix}$ คำนวณ $\det(AB)$

จะได้ $\det(AB) = (1)(4)-(3)(2) = -2$ แทนค่าลงในสูตรคำนวณเมทริกซ์อินเวอร์สของ $AB$

$$\begin{eqnarray*} \left(AB\right)^{-1} & = & \dfrac{1}{\det\left(AB\right)}\left[\begin{array}{cc} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{array}\right]\\  & = & \frac{1}{\left(-2\right)}\left[\begin{array}{cc} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{array}\right]\\  & = & -\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

เราจึงได้ $(AB)^{-1} = -\frac12\begin{bmatrix} 4 &-2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

คำนวณเมทริกซ์ $A$
นำ $(AB)^{-1}$ คูณทางด้านซ้ายของสมการ $ABA = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} ABA & = & \left[\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -1 & 4 \end{array}\right]\\ \left(AB\right)^{-1}ABA & = & -\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -1 & 4 \end{array}\right]\\ \cancel{\left(AB\right)^{-1}}\cancel{\left(AB\right)}A & = & -\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} -2 & 0\\ 2 & -2 \end{array}\right]\\ A & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

,

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่า $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ เราจึงนำมาคำนวณ $A^{-1}$ เพื่อเอาไปคูณทางด้านซ้ายของสมการ $AB=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix}$  แล้วจะได้เมทริกซ์ $B$ ที่เราต้องการ

คำนวณเมทริกซ์ $A^{-1}$

คำนวณ $\det A = (1)(1) - (-1)(0) = 1$ แล้วแทนลงในสูตรคำนวณเมทริกซ์อินเวอร์สของ $A$

$$\begin{eqnarray*} A^{-1} & = & \frac{1}{\det A}\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right]\\  & = & \frac{1}{\left(1\right)}\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

คำนวณเมทริกซ์ $B$
นำเมทริกซ์ $A^{-1}$ คูณทางซ้ายของสมการ $AB=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$$\begin{eqnarray*} AB & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right]\\ \cancel{A^{-1}}\cancel{A}B & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right]\\ B & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 6 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

,

นำเมทริกซ์ $B=\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 4&6\end{bmatrix}$ คูณทางซ้ายของสมการ $AB=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ เพื่อให้ได้ $BAB$

$$\begin{eqnarray*} AB & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right]\\ BAB & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 4 & 6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} \left(1+6\right) & \left(2+8\right)\\ \left(4+18\right) & \left(8+24\right) \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 7 & 10\\ 22 & 32 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

ซึ่งตรงกับข้อความ (ก) ไก่ จริง ดังนั้น (ก) กล่าวถูกต้องแล้ว

,

ในการคูณเมทริกซ์ เราจะต้องระมัดระวังเรื่องการคูณทางซ้ายและทางขวา ซึ่งค่าของ $AB$ อาจจะไม่เท่ากับ $BA$ ก็ได้

กระจายผลคูณ $(A-B)(A+B)$ โดยมองว่าเป็นการกระจาย $(A-B)$ เข้าไปในผลบวก $(A+B)$ ก่อน

$$\begin{eqnarray*} \left(A-B\right)\left(A+B\right) & = & \left(A-B\right)A+\left(A-B\right)B\\  & = & AA-BA+AB-BB\\  & = & A^{2}-BA+AB-B^{2} \end{eqnarray*}$$

เราจึงได้ $(A-B)(A+B) = A^2 -BA +AB -B^2$ ซึ่งจะเท่ากับ $A^2-B^2$ ได้ในกรณีที่ $AB=BA$  เท่านั้น

,

นำ $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4& 6\end{bmatrix}$ คูณทางซ้ายของสมการ $ABA=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$

$$\begin{eqnarray*} ABA & = & \left[\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -1 & 4 \end{array}\right]\\ A^{-1}ABA & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -1 & 4 \end{array}\right]\\ \cancel{\left(A^{-1}\right)}\cancel{\left(A\right)}\left(BA\right) & = & \left[\begin{array}{cc} \left(1+0\right) & \left(2+0\right)\\ \left(-1-1\right) & \left(2+4\right) \end{array}\right]\\ BA & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ -2 & 6 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่า $BA=\begin{bmatrix}1&2\\-2&6\end{bmatrix}$ ไม่เท่ากับ $AB=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$
ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $(A-B)(A+B)\neq A^2-B^2$ จริงตามที่ข้อ (ข) กล่าว ข้อ (ข) ไข่ จึงกล่าวถูกต้อง