,

จับคู่พจน์ตัวแปรเดียวกันไว้ด้วยกัน แล้วดึงตัวร่วมออกมาหน้าวงเล็บ และย้ายพจน์ค่าคงตัวไปด้านขวาของสมการ

$$\begin{eqnarray*} 16y^{2}-9x^{2}+36x+32y+124 & = & 0\\ \left(16y^{2}+32y\,+\quad\right)+\left(-9x^{2}+36x\,+\quad\right) & = & -124\\ 16\left(y^{2}+2y\,+\quad\right)-9\left(x^{2}-4x\,+\quad\right) & = & -124 \end{eqnarray*}$$

เติมพจน์ $\text{หลัง}^2$ ลงไปในทั้งสองวงเล็บ และเติมค่าที่เท่ากันลงไปด้านขวาของสมการด้วย

$$\begin{eqnarray*} 16\left(y^{2}+2y+1^{2}\right)-9\left(x^{2}-4x+2^{2}\right) & = & -124+16\left(1^{2}\right)-9\left(2^{2}\right)\\ 16\left(y+1\right)^{2}-9\left(x-2\right)^{2} & = & -124+16-36\\ 16\left(y+1\right)^{2}-9\left(x-2\right)^{2} & = & -144 \end{eqnarray*}$$

หารตลอดด้วย $-144$ แล้วจัดให้อยู่ในรูปสำหรับวาดกราฟ

$$\begin{eqnarray*} \frac{16\left(y+1\right)^{2}}{-144}-\frac{9\left(x-2\right)^{2}}{-144} & = & \frac{-144}{-144}\\ \frac{\left(y+1\right)^{2}}{-9}+\frac{\left(x-2\right)^{2}}{16} & = & 1\\ \frac{\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}-\frac{\left(y+1\right)^{2}}{3^{2}} & = & 1 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะเห็นว่าไฮเพอร์โบลารูปนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2,-1)$ และมีค่า $a=4$, $b=3$

คำนวณค่า $c$ โดยการแทนค่า $a$ กับ $b$ ลงในสมการความสัมพันธ์ $c^2 =a^2+b^2$

$$\begin{eqnarray*} c^{2} & = & a^{2}+b^{2}\\  & = & 4^{2}+3^{2}\\  & = & 25 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะได้ $c=5$

กราฟของไฮเพอร์โบลา $\frac{\left(x-2\right)^{2}}{4^{2}}-\frac{\left(y+1\right)^{2}}{3^{2}} =1$ เป็นรูปไฮเพอร์โบลาเปิดซ้ายขวา มีจุดโฟกัสขยับไปทางซ้ายและขวาของจุดศูนย์กลางข้างละ $5$ หน่วยดังรูป

ซึ่งจะได้โฟกัสของไฮเพอร์โบลาเป็น $F_1(-3,-1)$ และ $F_2(7,-1)$

,

จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ $L$ เป็นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด $(0,0)$ และผ่านจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา $(2,-1)$ หาความชันของ $L$ ได้ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} m & = & \frac{\Delta y}{\Delta x}\\  & = & \frac{\left(-1\right)-0}{2-0}\\  & = & -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$

สร้างสมการเส้นตรง $L$ โดยแทนจุด $(0,0)$ และความชัน $m=-\frac12$ ลงในสมการสร้างเส้นตรง $y-y_1 = m(x-x_1)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} y-0 & = & \left(-\frac{1}{2}\right)\left(x-0\right)\\ y & = & -\frac{1}{2}x\\ 2y & = & -x\\ 2y+x & = & 0 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นสมการเส้นตรง $L$ คือ $2y+x=0$

,

จากขั้นตอนที่ผ่านมาเราทราบว่าโฟกัสทั้งสองของไฮเพอร์โบลา คือ $F_1(-3,-1)$ กับ $F_2(7,-1)$ และเส้นตรง $L$ มีสมการเป็น $2y+x=0$ 

คำนวณระยะทาง $F_1(-3,-1)$ ไปยัง $L$

$$\begin{eqnarray*} d_{1} & = & \frac{\left|2\left(-1\right)+\left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\\  & = & \frac{\left|-2-3\right|}{\sqrt{4+1}}\\  & = & \frac{5}{\sqrt{5}}\\  & = & \sqrt{5} \end{eqnarray*}$$

คำนวณระยะทาง $F_2(7,-1)$ ไปยัง $L$

$$\begin{eqnarray*} d_{2} & = & \frac{\left|2\left(-1\right)+\left(7\right)\right|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\\  & = & \frac{\left|-2+7\right|}{\sqrt{4+1}}\\  & = & \frac{5}{\sqrt{5}}\\  & = & \sqrt{5} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นผลบวกระยะทางทั้งสองมีค่าเท่ากับ $\sqrt5 + \sqrt5 = 2\sqrt5$