,

ทำกำลังสองสัมบูรณ์สมการไฮเพอร์โบลา จัดรูปให้อยู่ในรูปที่พร้อมสำหรับอ่านข้อมูลไปวาดกราฟ

$$\begin{eqnarray*} x^{2}-y^{2}-2x & = & 0\\ \left(x^{2}-2x\qquad\right)-y^{2} & = & 0\\ \left(x^{2}-2x+1\right)-y^{2} & = & 0+1\\ \left(x-1\right)^{2}-y^{2} & = & 1 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะได้สมการไฮเพอร์โบลาเป็น 

$$\frac{\left(x-1\right)^{2}}{1^{2}}-\frac{y^{2}}{1^{2}}=1$$

ซึ่งเป็นไฮเพอร์โบลาเปิดซ้ายขวา มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(1,0)$ และมีจุดยอดอยู่ที่ $(0,0)$ และ $(2,0)$ ดังรูป

สมการเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาสามารถดูได้จากสมการไฮเพอร์โบลาสำหรับวาดรูปได้เลย โดยที่เอาเลข $1$ ด้านขวาของสมการออกไป ย้ายเทอมติดลบไปด้านขวาแล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้าง ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} \frac{\left(x-1\right)^{2}}{1^{2}}-\frac{y^{2}}{1^{2}} & = & 0\\ \frac{\left(x-1\right)^{2}}{1^{2}} & = & \frac{y^{2}}{1^{2}}\\ \frac{x-1}{1} & = & \pm\frac{y}{1}\\ x-1 & = & \pm y \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่าเราได้เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาสองเส้น คือ $x-1=y$ และ $x-1=-y$

ในขณะที่เส้นตรงที่ผ่านจุดยอดทั้งสอง คือ เส้นตรงที่ผ่านจุด $(0,0)$ กับ $(2,0)$ คือ เส้นตรงแนวนอน $x=0$ นั่นเอง

,

หาจุดตัดจุดแรก
แทน $y=2x$ ลงในเส้นกำกับไฮเพอร์โบลาเส้นแรก $x-1=y$ แก้หาค่าพิกัดแกน $x$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} x-1 & = & y\\ x-1 & = & \left(2x\right)\\ -1 & = & 2x-x\\ -1 & = & x \end{eqnarray*}$$

จะได้ $x=-1$ จากนั้นแทนค่า $x=-1$ ใน $y=2x$ จะได้ $y=-2$ จึงได้จุดตัดจุดแรกเป็น $(-1,-2)$

หาจุดตัดจุดที่สอง
แทน $y=2x$ ลงในสมการเส้นกำกับไฮเพอร์โบลาเส้นที่สอง $x-1=-y$ แก้หาค่าพิกัดแกน $x$ 

$$\begin{eqnarray*} x-1 & = & -y\\ x-1 & = & -\left(2x\right)\\ x+2x & = & 1\\ x & = & \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$$

จะได้ $x=\frac13$ แทนค่าลงใน $y=2x$ จึงได้จุดตัดจุดที่สองเป็น $\left( \frac13, \frac23 \right)$

หาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดตัดทั้งสอง
จุดกึ่งกลางระหว่างจุด $(-1,-2)$ กับ $\left( \frac13, \frac23 \right)$ คือ

$$\begin{eqnarray*} \left(\frac{-1+\frac{1}{3}}{2},\frac{-2+\frac{2}{3}}{2}\right) & = & \left(\frac{-\frac{3}{3}+\frac{1}{3}}{2},\frac{-\frac{6}{3}+\frac{2}{3}}{2}\right)\\  & = & \left(\frac{-3+1}{6},\frac{-6+2}{6}\right)\\  & = & \left(-\frac{2}{6},-\frac{4}{6}\right)\\  & = & \left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right) \end{eqnarray*}$$

,

จากข้อมูลที่เรามีตอนนี้ คือ พาราโบลามีเส้นไดเรกตริกซ์เป็น $y=0$ และมีจุดโฟกัสเป็น $\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)$ ดังรูป

ซึ่งจากรูป เราจะได้จุดยอดของพาราโบลาเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างเส้นตรงที่่ลากจากจุดโฟกัสไปตั้งฉากกับเส้นไดเรกตริกซ์

ซึ่งทำให้ทราบว่าพเป็นพาราโบลาคว่ำมีจุดยอดอยู่ที่ $\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$ โดยที่มีค่า $c$ เท่ากับระยะระหว่างจุดยอดกับจุดโฟกัส นั่นคือ $\frac13$ แต่เนื่องจากเป็นพาราโบลาคว่ำ จึงมีค่า $c$ ติดลบ จึงได้ $c=-\frac13$ 

สร้างสมการพาราโบลา
จากข้อมูลเพิ่มเติมที่เราทราบว่าเป็นพาราโบลาคว่ำมีจุดยอดที่ $\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$ และมีค่า $c=-\frac13$ สามารถสร้างสมการได้ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} 4c\left(y-k\right) & = & \left(x-h\right)^{2}\\ 4\left(-\frac{1}{3}\right)\left(y+\frac{1}{3}\right) & = & \left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}\\ -\frac{4}{3}\left(y+\frac{1}{3}\right) & = & x^{2}+2\left(\frac{1}{3}\right)x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\\ -\frac{4}{3}y-\frac{4}{9} & = & x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\\ 0 & = & x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}y+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\\ 0 & = & x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}y+\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$$

คูณตลอดด้วย $9$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}y+\frac{5}{9} & = & 0\\ 9\left(x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}y+\frac{5}{9}\right) & = & 0\\ 9x^{2}+9\cdot\frac{2}{3}x+9\cdot\frac{4}{3}y+9\cdot\frac{5}{9} & = & 0\\ 9x^{2}+\cancelto{3}{9}\cdot\frac{2}{\cancel{3}}x+\cancelto{3}{9}\cdot\frac{4}{\cancel{3}}y+\cancel{9}\cdot\frac{5}{\cancel{9}} & = & 0\\ 9x^{2}+6x+12y+5 & = & 0 \end{eqnarray*}$$