กำหนดให้ $L$ เป็นเส้นตรงที่มีสมการเป็น $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ เมื่อ $a,b>0$  และให้ $C_1$ กับ $C_2$ เป็นวงกลมสองวงที่ต่างกัน โดยมีรัศมีเท่ากันและวงกลมทั้งสองวงต่างสัมผัสกับเส้นตรง $L$ ที่จุดเดียวกัน ถ้าวงกลม $C_1$ มีจุดศูนย์กลางที่จุด $(0,0)$ แล้วสมการของวงกลม $C_2$ คือข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปประกอบ ทำความเข้าใจสิ่งที่โจทย์ถาม[/STEP]

โจทย์กำหนดสมการเส้นตรง $L:\quad\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1$ เมื่อ $a,b>0$ แสดงว่าเส้นตรง $L$ นี้มีความชันเท่ากับ $m_L = -\frac{b}{a}$ ซึ่งมีค่าเป็นลบเพราะ $a,b>0$ และมีระยะตัดแกน $x$ และแกน $y$ เป็น $a$ และ $b$ ตามลำดับ  จากข้อมูลเหล่านี้ทำให้เราวาดกราฟของ $L$ ได้คร่าวๆ ดังนี้

จากนั้นโจทย์กำหนดให้ $C_1$ เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด $(0,0)$ และสัมผัสกับเส้นตรง $L$ พอดีดังรูป

และโจทย์ถามหาสมการของวงกลม $C_2$ ที่มีรัศมีเท่ากันกับ $C_1$ และสัมผัสเส้นตรง $L$ ที่จุดเดียวกันดังรูป

[STEP]หาความยาวรัศมีของวงกลมทั้งสอง[/STEP]

จากรูปจะเห็นว่ารัศมีของวงกลม $C_1$ ยาวเท่ากับระยะทางจากจุดศูนย์กลาง $(0,0)$ ไปยังเส้นตรง $L$ 

จัดรูปสมการเส้นตรง $L$ ให้พร้อมสำหรับการคำนวณระยะทางโดยการคูณตลอดด้วย $ab$

\begin{eqnarray*}
\frac{x}{a}+\frac{y}{b} & = & 1\\
ab\cdot\frac{x}{a}+ab\cdot\frac{y}{b} & = & ab\cdot1\\
ab\cdot\frac{x}{a}+ab\cdot\frac{y}{b} & = & ab\\
bx+ay & = & ab\\
bx+ay-ab & = & 0
\end{eqnarray*}

คำนวณระยะทางจากจุด $(0,0)$ ไปยังเส้นตรง $L: bx+ay-ab=0$

\begin{eqnarray*}
r & = & \frac{\left|b\left(0\right)+a\left(0\right)-ab\right|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\\
 & = & \frac{\left|-ab\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\
 & = & \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ความยาวรัศมีของวงกลมทั้งสองวง(ซึ่งยาวเท่ากัน) เท่ากับ $r=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

[STEP]หาจุดศูนย์กลางของ $C_2$[/STEP]

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะหาจุดศูนย์กลางของวงกลม $C_2$ คือการหาจุดสัมผัสกันของวงกลมทั้งสองและเส้นตรง $L$ ก่อน จากนั้นเราจะใช้ความรู้เรื่องการเลื่อนขนานด้วยเวกเตอร์อีกครั้งภายหลัง

ในการหาจุดสัมผัสดังกล่าวสามารถหาได้จากการสร้างสมการวงกลม $C_1$ ที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,0)$ และมีรัศมีเท่ากับ $r=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ แล้วนำมาแก้สมการหาจุดตัดระหว่าง $C_1$ กับเส้นตรง $L$ ก็ได้เช่นกัน แต่จะต้องจัดรูปสมการที่ค่อนข้างซับซ้อน เราจึงเลี่ยงโดยการสร้างเส้นตรงตั้งฉากกับ $L$ และผ่านจุด $(0,0)$ ดังรูป

เส้นตรงเส้นใหม่นี้จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองวง และผ่านจุดสัมผัสที่เราต้องการพอดี

สร้างสมการเส้นตรงเส้นใหม่ ที่ผ่านจุด $(0,0)$ และตั้งฉากกับเส้นตรง $L$ นั่นคือ เส้นตรงเส้นใหม่จะต้องมีความชันคูณกับ $m_L$ แล้วเท่ากับ $-1$ หรือ $m=\frac{a}{b}$ นั่นเอง

\begin{eqnarray*}
y-y_{1} & = & m\left(x-x_{1}\right)\\
y-0 & = & \frac{a}{b}\left(x-0\right)\\
y & = & \frac{ax}{b}
\end{eqnarray*}

จากนั้นหาจุดสัมผัสดังกล่าวโดยการหาจุดตัดระหว่างเส้นตรงเส้นใหม่ กับเส้นตรง $L$ โดยแทนค่า $y=\frac{ax}{b}$ ลงในสมการเส้นตรง $L$

\begin{eqnarray*}
bx+ay & = & ab\\
bx+a\left(\frac{ax}{b}\right) & = & ab\\
bx+\frac{a^{2}}{b}x & = & ab\\
\left(b+\frac{a^{2}}{b}\right)x & = & ab\\
x & = & \frac{ab}{\left(b+\frac{a^{2}}{b}\right)}
\end{eqnarray*}

จัดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่าย โดยรวมส่วนเข้าด้วยกัน จะได้

\begin{eqnarray*}
x & = & \frac{ab}{\left(b+\frac{a^{2}}{b}\right)}\\
x & = & \frac{ab}{\frac{b^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{b}}\\
x & = & \frac{ab}{\frac{b^{2}+a^{2}}{b}}\\
x & = & \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=\frac{ab^2}{a^2+b^2}$ ลงใน $y=\frac{ax}{b}$ เพื่อหาพิกัด $y$ ของจุดสัมผัส

\begin{eqnarray*}
y & = & \frac{ax}{b}\\
 & = & \frac{a}{b}\left(\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\right)\\
 & = & \frac{a}{\cancel{b}}\left(\frac{ab^{\cancel{2}}}{a^{2}+b^{2}}\right)\\
y & = & \frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}
\end{eqnarray*}

เราจะได้พิกัดของจุดสัมผัสเท่ากับ $P\left( \frac{ab^2}{a^2+b^2} , \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)$ ดังรูป

จากนั้นเราใช้การเลื่อนขนานจุด  $\left( \frac{ab^2}{a^2+b^2} , \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)$  ด้วยเวกเตอร์ $\overrightarrow{OP}$ ก็จะได้จุดศูนย์กลางของวงกลม $C_2$ ดังรูป

ซึ่งจะได้จุดศูนย์กลางของ $C_2$ เหมือนเป็นสองเท่าของจุด $P$ คือ  $\left( \frac{2ab^2}{a^2+b^2} , \frac{2a^2b}{a^2+b^2}\right)$ 

[STEP]สร้างสมการวงกลม $C_2$ และจัดรูปให้ตรงกับในตัวเลือก[/STEP]

สร้างสมการวงกลม $C_2$ มีจุดศูนย์กลางที่  $\left( \frac{2ab^2}{a^2+b^2} , \frac{2a^2b}{a^2+b^2}\right)$ และมีรัศมี $r=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ แล้วกระจายกำลังสอง

\begin{eqnarray*}
\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2} & = & r^{2}\\
\left(x-\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}+\left(y-\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}\right) & = & \left(\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}\\
\left(x^{2}-2\left(\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\right)x+\left(\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}\right)+\left(y^{2}-2\left(\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}\right)y+\left(\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}\right) & = & \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\\
x^{2}-\frac{4ab^{2}x}{a^{2}+b^{2}}+\frac{4a^{2}b^{4}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+y^{2}-\frac{4a^{2}by}{a^{2}+b^{2}}+\frac{4a^{4}b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}} & = & \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}
\end{eqnarray*}

สังเกตว่าเกือบทุกเทอมมีส่วนเป็น $a^2+b^2$ ดังนั้นเราจึงคูณตลอดด้วย $a^2+b^2$ แล้วตัดตัวที่มีส่วนเป็น $a^2+b^2$ ออกไป จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+-4ab^{2}x+\frac{4a^{2}b^{4}}{a^{2}+b^{2}}+\left(a^{2}+b^{2}\right)y^{2}-4a^{2}by+\frac{4a^{4}b^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = & a^{2}b^{2}\\
\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)y^{2}-4ab^{2}x-4a^{2}by+\frac{4a^{2}b^{4}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{4a^{4}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-a^{2}b^{2} & = & 0\\
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-4ab\left(bx+ay\right)+\frac{4a^{2}b^{4}+4a^{4}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-a^{2}b^{2} & = & 0\\
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-4ab\left(bx+ay\right)+\frac{4a^{2}b^{2}\cancel{\left(b^{2}+a^{2}\right)}}{\cancel{a^{2}+b^{2}}}-a^{2}b^{2} & = & 0\\
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-4ab\left(bx+ay\right)+4a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2} & = & 0\\
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-4ab\left(bx+ay\right)+3a^{2}b^{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่าตรงกับตัวเลือก $B$ พอดี

[ANS] B [/ANS]

เนื่องจากวิธีตรงใช้เวลาในการจัดรูปค่อนข้างนาน ในการทำข้อสอบจริงเราควรใช้การแทนตัวเลขค่าคงตัว $a,b$ เพื่อตรวจสอบตัวเลือกแทน เช่น 

แทนค่า $a=1,b=1$
จะได้ $L:x+y=1$ คำนวณรัศมีได้ $r=\frac{1}{\sqrt{2}}$ และจะได้จุดศูนย์กลางของ $C_2$ เป็น $(1,1)$ พอดีดังรูป

จากนั้นสร้างสมการวงกลม $C_2$

\begin{eqnarray*}
\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2} & = & \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\\
x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1 & = & \frac{1}{2}\\
x^{2}+y^{2}-2\left(x+y\right)+\frac{3}{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

จากนั้นแทนค่า $a=1,b=1$ ลงในตัวเลือกทั้งสี่จะได้

\begin{eqnarray*}
A)\qquad4\left(x^{2}+y^{2}\right)-8\left(x+y\right)+3 & = & 0\\
B)\qquad2\left(x^{2}+y^{2}\right)-4\left(x+y\right)+3 & = & 0\\
C)\qquad4\left(x^{2}+y^{2}\right)-8\left(x+y\right)+5 & = & 0\\
D)\qquad2\left(x^{2}+y^{2}\right)-4\left(x+y\right)+5 & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่อปรับสัมประสิทธิ์ด้านหน้า $\left( x^2 + y^2 \right)$ ให้เป็น $1$ แล้ว จะได้

\begin{eqnarray*}
A)\qquad\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\left(x+y\right)+\frac{3}{4} & = & 0\\
B)\qquad\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\left(x+y\right)+\frac{3}{2} & = & 0\\
C)\qquad\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\left(x+y\right)+\frac{5}{4} & = & 0\\
D)\qquad\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\left(x+y\right)+\frac{5}{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีข้อ $B$ เพียงข้อเดียวที่ได้สมการตรงกับที่เราสร้างมา ดังนั้นข้อนี้จึงสามารถตอบข้อ $B$ ได้เร็วกว่าไปคำนวณตรงๆ

ความรู้ที่ใช้ : การสร้างสมการวงกลม เส้นตรง โจทย์ปัญหาภาคตัดกรวยประยุกต์