กำหนดให้ $A=\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & -1\\ \end{bmatrix}$, $I=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix}$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์ใด ๆ ที่มีมิติ $2\times 2$
ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ $\det\left(A^2+xI\right)=0$  พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก)  $\det\left(A+xI\right)=0$

(ข)  $\det\left(A^2+xI-B\right) = \det\left(B^t\right)$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $\det\left(A^2+xI\right)$ และแก้สมการหา $x$[/STEP]

เริ่มต้นจากการหาผลคูณของ $A^2$ ก่อน ดังนี้

\begin{eqnarray*}
A^{2} & = & AA\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
1 & -2\\
0 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
1 & -2\\
0 & -1
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
\left(1\right)\left(1\right)+\left(-2\right)\left(0\right)\quad & \left(1\right)\left(-2\right)+\left(-2\right)\left(-1\right)\\
\left(0\right)\left(1\right)+\left(-1\right)\left(0\right)\quad & \left(0\right)\left(-2\right)+\left(-1\right)\left(-1\right)
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
1+0\qquad & -2+2\\
0+0\qquad & \quad0+1
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

จากนั้นนำ $A^2$ ที่ได้ ไปบวกกับ $xI$

\begin{eqnarray*}
A^{2}+xI & = & \left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]+x\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
x & 0\\
0 & x
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
x+1 & 0\\
0 & x+1
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

นำ $A^2 + xI$ ที่ได้มาคำนวณ $\det$ และจับเท่ากับศูนย์ตามสมการ $\det\left(A^2+xI\right)=0$ ที่โจทย์กำหนดให้มา

จะได้ $\det\left(A^2+xI\right)=\left(x+1\right)^2$

จากนั้นแทนค่าคงในสมการ  $\det\left(A^2+xI\right)=0$ แก้สมการหาค่า $x$

\begin{eqnarray*}
\det\left(A^{2}+xI\right) & = & 0\\
\left(x+1\right)^{2} & = & 0\\
x+1 & = & 0\\
x & = & -1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจะได้ $x=-1$

[STEP]แทนค่า $x=-1$ แล้วคำนวณ $\det\left(A+xI\right)$[/STEP]

แทนค่า $x=-1$ ลงใน $A+xI$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A+xI & = & \left[\begin{array}{cc}
1 & -2\\
0 & -1
\end{array}\right]+\left(-1\right)\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
1 & -2\\
0 & -1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
-1 & \quad0\\
0 & -1
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
0 & -2\\
0 & -2
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

นำ $A+xI$ ที่ได้มาคำนวณ $\det$

จะได้ $\det\left(A+xI \right) = 0$ ดังนั้นข้อความ ก. ถูก

[STEP]แทนค่า $x=-1$ คำนวณ $\det\left(A^2+xI-B\right)$ เทียบกับ $\det\left(B^t\right)$[/STEP]

จาก $A^{2}+xI$=$\left[\begin{array}{cc}
x+1 & 0\\
0 & x+1
\end{array}\right]$

แทนค่า $x=-1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A^{2}+xI & = & \left[\begin{array}{cc}
x+1 & 0\\
0 & x+1
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
\left(-1\right)+1 & 0\\
0 & \left(-1\right)+1
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $A^2+xI=\bar{0}$ เป็นเมทริกซ์ศูนย์ ดังนั้น $A^2+xI - B = -B$

คำนวณ  $\det\left(A^2+xI-B\right)$ ในเทอมของ $\det(B)$ โดยดึง $(-1)$ ออกจาก $\det$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\det\left(A^{2}+xI-B\right) & = & \det\left(\bar{0}-B\right)\\
 & = & \det\left(-B\right)\\
 & = & \det\left(\left(-1\right)\cdot B\right)\\
 & = & \left(-1\right)^{2}\det\left(B\right)\\
 & = & \det\left(B\right)
\end{eqnarray*}

แต่เนื่องจาก $\det\left(B^t \right) = \det (B)$ เราจึงสรุปว่าข้อความ ข. ถูก

[ANS] A ก. ถูก และ ข. ถูก [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์