,

เริ่มต้นจากการหาผลคูณของ $A^2$ ก่อน ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} A^{2} & = & AA\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & -2\\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -2\\ 0 & -1 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} \left(1\right)\left(1\right)+\left(-2\right)\left(0\right)\quad & \left(1\right)\left(-2\right)+\left(-2\right)\left(-1\right)\\ \left(0\right)\left(1\right)+\left(-1\right)\left(0\right)\quad & \left(0\right)\left(-2\right)+\left(-1\right)\left(-1\right) \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 1+0\qquad & -2+2\\ 0+0\qquad & \quad0+1 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

จากนั้นนำ $A^2$ ที่ได้ ไปบวกกับ $xI$

$$\begin{eqnarray*} A^{2}+xI & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]+x\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} x & 0\\ 0 & x \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} x+1 & 0\\ 0 & x+1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

นำ $A^2 + xI$ ที่ได้มาคำนวณ $\det$ และจับเท่ากับศูนย์ตามสมการ $\det\left(A^2+xI\right)=0$ ที่โจทย์กำหนดให้มา

จะได้ $\det\left(A^2+xI\right)=\left(x+1\right)^2$

จากนั้นแทนค่าคงในสมการ  $\det\left(A^2+xI\right)=0$ แก้สมการหาค่า $x$

$$\begin{eqnarray*} \det\left(A^{2}+xI\right) & = & 0\\ \left(x+1\right)^{2} & = & 0\\ x+1 & = & 0\\ x & = & -1 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจะได้ $x=-1$

,

แทนค่า $x=-1$ ลงใน $A+xI$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} A+xI & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & -2\\ 0 & -1 \end{array}\right]+\left(-1\right)\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 1 & -2\\ 0 & -1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} -1 & \quad0\\ 0 & -1 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 0 & -2\\ 0 & -2 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

นำ $A+xI$ ที่ได้มาคำนวณ $\det$

จะได้ $\det\left(A+xI \right) = 0$ ดังนั้นข้อความ ก. ถูก

,

จาก $A^{2}+xI$=$\left[\begin{array}{cc} x+1 & 0\\ 0 & x+1 \end{array}\right]$

แทนค่า $x=-1$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} A^{2}+xI & = & \left[\begin{array}{cc} x+1 & 0\\ 0 & x+1 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} \left(-1\right)+1 & 0\\ 0 & \left(-1\right)+1 \end{array}\right]\\  & = & \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $A^2+xI=\bar{0}$ เป็นเมทริกซ์ศูนย์ ดังนั้น $A^2+xI - B = -B$

คำนวณ  $\det\left(A^2+xI-B\right)$ ในเทอมของ $\det(B)$ โดยดึง $(-1)$ ออกจาก $\det$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \det\left(A^{2}+xI-B\right) & = & \det\left(\bar{0}-B\right)\\  & = & \det\left(-B\right)\\  & = & \det\left(\left(-1\right)\cdot B\right)\\  & = & \left(-1\right)^{2}\det\left(B\right)\\  & = & \det\left(B\right) \end{eqnarray*}$$

แต่เนื่องจาก $\det\left(B^t \right) = \det (B)$ เราจึงสรุปว่าข้อความ ข. ถูก