กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $a<b$
เซตคำตอบของสมการ

$$\left|x-a\right|-\left|x-b\right| = b-a$$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]แบ่งกรณีของ $x$[/step]

เนื่องจาก $a$ กับ $b$ เป็นค่าคงตัวที่ $a<b$ เราจึงสามารถแบ่งกรณีของ $x$ เป็น $3$ กรณีดังรูป

  1. กรณี $x\geq b$
  2. กรณี $a<x <b$
  3. กรณี $x\leq a$

[step]แก้สมการกรณี $x\geq b$[/step]

จะได้ $\left|x-b\right| = x-b$ และ $\left|x-a\right| = x-a$ เพราะว่าการที่ $x\geq b$ แสดงว่า $x>a$ ด้วย

แทนค่า $\left|x-b\right|$ ด้วย $x-b$ และ $\left|x-a\right| = x-a$ 

\begin{eqnarray*}
\left|x-a\right|-\left|x-b\right| & = & b-a\\
\left(x-a\right)-\left(x-b\right) & = & b-a\\
x-a-x+b & = & b-a\\
\cancel{x}-a-\cancel{x}+b & = & b-a\\
b-a & = & b-a\\
\cancel{b}-\bcancel{a} & = & \cancel{b}-\bcancel{a}\\
0 & = & 0
\end{eqnarray*}

 

ซึ่งเป็นจริงเสมอ แสดงว่าไม่ว่า $x$ มีค่าเท่าใด (เฉพาะในกรณีนี้) ก็ทำให้สมการเป็นจริงทั้งหมด นั่นคือ เซตคำตอบของกรณีนี้คือ $[b,\infty)$

[step]แก้สมการกรณี $a<x<b$[/step]

กรณีนี้ $\left|x-a\right| = x-a$ เพราะว่า $x>a$ 
แต่ $\left|x-b\right| = b-x$ เพราะว่า $x<b$

แทนค่า $\left|x-a\right|$ ด้วย $x-a$ และ $\left|x-b\right|$ ด้วย $b-x$ ลงในสมการที่โจทย์ให้มา

\begin{eqnarray*}
\left|x-a\right|-\left|x-b\right| & = & b-a\\
\left(x-a\right)-\left(b-x\right) & = & b-a\\
x-a-b+x & = & b-a\\
2x-a-b & = & b-a\\
2x-a-b & = & b-a\\
2x-b & = & b\\
2x & = & 2b\\
x & = & b
\end{eqnarray*}

คำตอบที่ได้ คือ $x=b$ แต่ $b$ ไม่ได้อยู่ในกรณีนี้ (กรณีนี้ $x\in (a,b)$) ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

[step]แก้สมการกรณี $x\leq a$[/step]

กรณีนี้จะได้ $\left|x-a\right| = a-x$ เพราะว่า $x\leq a$
และ $\left|x-b\right| = b-x$ เพราะว่า $x\leq a$ แสดงว่า $x<b$ ด้วย

\begin{eqnarray*}
\left|x-a\right|-\left|x-b\right| & = & b-a\\
\left(a-x\right)-\left(b-x\right) & = & b-a\\
a-x-b+x & = & b-a\\
a-b & = & b-a\\
2a & = & 2b\\
a & = & b
\end{eqnarray*}

เนื่องจากโจทย์กำหนดมาแล้วว่า $a<b$ นั่นคือ $a\neq b$ แสดงว่าในกรณีนี้แก้สมการแล้วได้สิ่งที่ไม่เป็นจริง เราจึงสรุปว่ากรณีนี้ไม่มีคำตอบ

[step]นำเซตคำตอบทั้ง $3$ กรณีมายูเนียนกัน[/step]

เนื่องจากกรณีที่ $2$ และกรณีที่ $3$ ไม่มีคำตอบ เซตคำตอบของสมการ $\left|x-a\right| - \left| x-b\right| = b-a$ จึงตรงกับเซตคำตอบในกรณีที่ $1$ นั่นคือ $[b,\infty)$

[ANS] C [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี