กำหนดให้ $f(x) = x^3 +ax^2 + bx + 3$  และ $g(x) = bx^2 + 3x +a $  เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $f(3) = 0$  และ $x - 2$ หาร $f(x)$ เหลือเศษเท่ากับ $5$  แล้วค่าของ $\left(g\circ f\right)(1)$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $a$ และ $b$[/STEP]

จาก $$f(x)=x^3+ax^2+bx+3$$ และ $$f(3)=0$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x^3+ax^2+bx+3\\
f(3)&=&3^3+a(3^2)+b(3)+3\\
0&=&27+9a+3b+3\\
9a+3b&=&-30\\
3a+b&=&-10&\quad\cdots(1)
\end{eqnarray*}

และจากที่โจทย์กำหนดให้ว่า $x-2$ หาร $f(x)$ เหลือเศษเท่ากับ $5$ จากทฤษฎีบทเศษเหลือจะได้ว่า

$$f(2)=5$$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x^3+ax^2+bx+3\\
f(2)&=&2^3+a(2^2)+b(2)+3\\
5&=&8+4a+2b+3\\
4a+2b&=&-6\\
2a+b&=&-3&\qquad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

นำ $(1)-(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a&=&-7
\end{eqnarray*}

นำ $a=-7$ แทนใน $(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2(-7)+b&=&-3\\
-14+b&=&-3\\
b&=&11
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x^3+ax^2+bx+3\\
f(x)&=&x^3-7x^2+11x+3&\quad\text{และ}\\
g(x)&=&bx^2+3x+a\\
g(x)&=&11x^2+3x-7
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $\left(g\circ f\right)(1)$[/STEP]

จาก $\left(g\circ f\right)(1)=g(f(1))$

ดังนั้นเราจะหาค่า $f(1)$ เป็นอันดับแรก จะได้

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x^3-7x^2+11x+3\\
f(1)&=&1^3-7(1^2)+11(1)+3\\
&=&1-7+11+3\\
&=&8
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)(1)&=&g(f(1))\\
&=&g(8)
\end{eqnarray*}

จากนั้นเราจะหาค่าของ $g(8)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
g(x)&=&11x^2+3x-7\\
g(8)&=&11(8^2)+3(8)-7\\
&=&704+24-7\\
&=&721
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)(1)&=&g(f(1))\\
&=&g(8)\\
&=&721
\end{eqnarray*}

[ANS]$721$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันประกอบ ทฤษฎีเศษเหลือ