ให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง  ถ้า $f:R\rightarrow{R}$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f^{\prime\prime}(x) = 3 + 6x$  สำหรับทุกจำนวนจริง $x$  และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $y=f(x)$  ณ จุด $(2,22)$ เท่ากับ $20$  แล้วค่าของ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow{4}}f(x)}$ เท่ากับเท่าใด 

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หา $f(x)$ จากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้[/STEP]

เงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้คือ

$$f^{\prime\prime}(x)=3+6x$$

และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $y=f(x)$ ณ. จุด $(2,22)$ เท่ากับ $20$

จะได้ว่า

$$f'(2)=20$$

และ $f(x)$ ผ่านจุด $(2,22)$ ดังนั้น

$$f(20)$$

จากนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\int{f^{\prime\prime}(x)}dx\\
&=&\int{3+6x}dx\\
&=&3x+3x^2+a&\quad\text{เมื่อ } a \text{ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&3x+3x^2+a\\
f'(2)&=&3(2)+3(2^2)+a\\
20&=&6+12+a\\
a&=&2
\end{eqnarray*}

จะได้

$$f'(x)=3x+3x^2+2$$

จากนั้น

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\int f'(x) dx\\
&=&\int 3x+3x^2+2 dx\\
&=&\frac32 x^2 +x^3 +2x +b&\quad\text{เมื่อ } b \text{ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac32 x^2+x^3+2x+b\\
f(2)&=&\frac32(2^2)+2^3+2(2)+b\\
22&=&6+8+4+b\\
b&=&4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$f(x)=x^3+\frac32 x^2+2x+4$$

[STEP]คำนวณค่า $\lim$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow{4}}f(x)&=&\lim_{x\rightarrow{4}}x^3+\frac32 x^2+2x+4\\
&=&4^3+\frac32 (4^2)+2(4)+4\\
&=&64+24+8+4\\
&=&100
\end{eqnarray*}

[ANS]$100$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้งและเส้นสัมผัส