กำหนดให้ $a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$  เมื่อ  $n=1,2,3,\cdots\quad$ ค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\left(6-3a_n\right)}{\sqrt{n^2+5n+1}}$  เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หารูปทั่วไปของ $a_n$[/STEP]

จาก $a_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^k{\frac{k}{2^k}}}$ จะได้

$$a_n=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^n}\qquad\cdots(1)$$

และ

$$\frac12a_n=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\cdots+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}\qquad\cdots(2)$$

นำ $(1)-(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a_n-\frac12a_n&=&\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}\\
\frac12a_n&=&\left[\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right]-\frac{n}{2^{n+1}}
\end{eqnarray*}

จากสมการด้านบนใน $[\quad]$ คืออนุกรม เรขาคณิตที่มี $a_1=\frac12$ และ $r=\frac12$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac12a_n&=&\left[\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right]-\frac{n}{2^{n+1}}\\
&=&\frac{\frac12\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{1-\frac12}-\frac{n}{2^{n+1}}\\
&=&1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}\\
a_n&=&2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่าสิ่งที่โจทย์ถาม[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\left(6-3a_n\right)}{\sqrt{n^2+5n+1}}&=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\left(6-3\left(2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}\right)\right)}{\sqrt{n^2+5n+1}}}\\
&=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\left(6-6+\frac{6}{2^n}+\frac{3n}{2^n}\right)}{\sqrt{n^2+5n+1}}}\\
&=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{6+3n}{\sqrt{n^2+5n+1}}}\\
&=&\frac31\\
&=&3
\end{eqnarray*}

 

[ANS]$3$[/ANS]

ลิมิตของลำดับ ถ้าเป็น $\frac{\text{พหุนาม}}{\text{พหุนาม}}$

ให้เปรียบเทียบกำลังสูงสุดของพหุนามด้านบนกับพหุนามด้านล่าง ถ้ากำลังสูงสุดเท่ากันจะได้ว่า

$$\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\frac{สัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุดด้านบน}{สัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุดด้านล่าง}$$

ความรู้ที่ใช้ : ลิมิตของลำดับ เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต