กำหนดให้ $\sin \theta - \sin 2\theta + \sin 3 \theta = 0 $  โดยที่ $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$

ถ้า $$a=\frac{\tan\theta-\tan2\theta}{\cos \theta - \cos 2\theta}$$  และ  $$b = \frac{\sin3\theta + \sin4\theta + \sin 5\theta }{\cos3\theta + \cos4\theta + \cos 5\theta}$$

แล้วค่าของ $a^4 + b^4$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $\sin3\theta$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sin3\theta&=&\sin(\theta+2\theta)\\
&=&\sin\theta\cos2\theta+\sin2\theta\cos\theta\\
&=&\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+2sin\theta\cos\theta\cos\theta\\
&=&\sin\theta(1-sin^2\theta-\sin^2\theta)+2\sin\theta\cos^2\theta\\
&=&\sin\theta(1-2sin^2\theta)+2\sin\theta(1-\sin^2\theta)\\
&=&\sin\theta-2\sin^3\theta+2\sin\theta-2\sin^3\theta\\
&=&3\sin\theta-4\sin^3\theta
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $\theta$[/STEP]

จาก $\sin \theta - \sin 2\theta + \sin 3 \theta = 0 $  จะได้

\begin{eqnarray*}
\sin \theta - \sin 2\theta + \sin 3 \theta &=&0\\
\sin\theta-\sin2\theta+(3\sin\theta-4\sin^3\theta)&=&0\\
\sin\theta-2\sin\theta\cos\theta+3\sin\theta-4\sin^3\theta&=&0\\
\sin\theta\left(1-2\cos\theta+3-4sin^2\theta\right)&=&0\\
\sin\theta\left(4-2\cos\theta-4(1-\cos^2\theta)\right)&=&0\\
\sin\theta\left(4-2\cos\theta-4+4\cos^2\theta\right)&=&0\\
\sin\theta\left(4\cos^2\theta-2\cos\theta\right)&=&0\\
\sin\theta\cos\theta(4\cos\theta-2)&=&0
\end{eqnarray*}

จากสมการด้านบนจะได้ว่า

$$\sin\theta=0\quad\text{หรือ}\quad\cos\theta=0\quad\text{หรือ}\quad4\cos\theta-2=0$$

แต่เนื่องจาก $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ ทำให้

$$\sin\theta=0\qquad\text{และ}\qquad\cos\theta=0$$

ไม่ให้คำตอบ ดังนั้นจะเหลือกรณีเดียวคือ

$$4\cos\theta-2=0$$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
4\cos\theta-2&=&0\\
\cos\theta&=&\frac12\\
\theta&=&\frac{\pi}{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $a$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a&=&\frac{\tan\theta-\tan2\theta}{\cos \theta - \cos 2\theta}\\
&=&\frac{\tan\frac{\pi}{3}-\tan2\cdot\frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3} - \cos 2\cdot\frac{\pi}{3}}\\
&=&\frac{\tan\frac{\pi}{3}-\tan\frac{2\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3} - \cos\frac{2\pi}{3}}\\
&=&\frac{\sqrt3-(-\sqrt3)}{\frac12 - \left(-\frac12\right)}\\
&=&\frac{2\sqrt3}{1}\\
&=&2\sqrt3
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $b$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
b &=& \frac{\sin3\theta + \sin4\theta + \sin 5\theta }{\cos3\theta + \cos4\theta + \cos 5\theta}\\
&=&\frac{\sin3\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin4\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin 5\left(\frac{\pi}{3}\right) }{\cos3\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos4\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos 5\left(\frac{\pi}{3}\right)}\\
&=&\frac{\sin\frac{3\pi}{3} + \sin\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{5\pi}{3}}{\cos\frac{3\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \cos\frac{5\pi}{3}}\\
&=&\frac{0-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}}{-1 -\frac12+ \frac12}\\
&=&\frac{-\sqrt3}{-1}\\
&=&\sqrt3
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณค่า $a^4+b^4$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a^4+b^4&=&(2\sqrt3)^4+\sqrt3^2\\
&=&16\cdot9+9\\
&=&144+9\\
&=&153
\end{eqnarray*}
 

 

[ANS]$153$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการตรีโกณมิติ การจัดรูปตรีโกณมิติ