ให้ $A$ แทนเซตคำตอบของจำนวนจริง  $x\in \left[ 0 , 2\pi \right)$  ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ 

$$2^{\left(1+3\sin x\right)} -5\cdot 2^{2\sin x} + 2^{\left(2+\sin x\right)} = 1$$

จำนวนสมาชิกของเซต $A$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แทนตัวแปรแล้วแก้สมการในตัวแปรใหม่[/STEP]

จัดรูปโดยปรับเลขยกกำลังของสองที่ไม่ติดตัวแปรลงมาเป็นสัมประสิทธิ์

\begin{eqnarray*}
2^{\left(1+3\sin x\right)}-5\cdot2^{2\sin x}+2^{\left(2+\sin x\right)} & = & 1\\
2^{1}\cdot2^{3\sin x}-5\cdot2^{2\sin x}+2^{2}\cdot2^{\sin x} & = & 1\\
2\cdot2^{3\sin x}-5\cdot2^{2\sin x}+4\cdot2^{\sin x}-1 & = & 0\\
2\cdot\left(2^{\sin x}\right)^{3}-5\cdot\left(2^{\sin x}\right)^{2}+4\cdot\left(2^{\sin x}\right)-1 & = & 0
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าตัวแปรที่เหมือนกัน คือ $2^{\sin{x}}$ ดังนั้นเราจึงกำหนดให้ตัวแปรใหม่ $A$ แทน $2^{\sin{x}}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2\cdot\left(2^{\sin x}\right)^{3}-5\cdot\left(2^{\sin x}\right)+4\cdot\left(2^{\sin x}\right)-1 & = & 0\\
2A^{3}-5A^{2}+4A-1 & = & 0
\end{eqnarray*}

ทดลองแทน $A=1$ ลงในพหุนามด้านซ้ายของสมการ จะได้ $0$ พอดี ดังนั้นแสดงว่า $A-1$ เป็นตัวประกอบของพหุนามด้านซ้ายของสมการนี้ เมื่อนำไปหารสังเคราะห์จะสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
2A^{3}-5A^{2}+4A-1 & = & 0\\
\left(A-1\right)\left(2A^{2}-3A+1\right) & = & 0\\
\left(A-1\right)\left(2A-1\right)\left(A-1\right) & = & 0\\
\left(A-1\right)^2 \left(2A-1\right) &=&0
\end{eqnarray*}

จะได้คำตอบในเทอม $A$ มาสองคำตอบ คือ $A=1$ และ $A=\frac12$ 

[STEP]แทนค่าตัวแปรกลับแล้วแก้สมการในเทอมตัวแปร $x$[/STEP]

จาก $A=2^{\sin{x}}$ และคำตอบของ $A=1$ กับ $A=\frac12$ ในขั้นตอนที่แล้ว แก้สมการหาค่า $x$ ทีละกรณี

กรณี $A=1$
แทนค่า $A=2^{\sin{x}}$ ลงใน $A=1$

\begin{eqnarray*}
A & = & 1\\
2^{\sin x} & = & 1\\
2^{\sin x} & = & 2^{0}\\
\sin x & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $x\in[0,2\pi)$ มีเพียง $2$ จำนวนที่ให้ $\sin x = 0 $ คือ $x=0$ และ $x=\pi$

กรณี $A=\frac12$
แทนค่า $A=2^{\sin{x}}$ ลงใน $A=\frac12$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A & = & \frac{1}{2}\\
2^{\sin x} & = & \frac{1}{2}\\
2^{\sin x} & = & 2^{-1}\\
\sin x & = & -1
\end{eqnarray*}

ซึ่งมี $x\in[0,2\pi)$ เพียงจำนวนเดียวที่ได้ $\sin x = -1$ คือ $x=-\frac{\pi}{2}$

รวมสองกรณี มีคำตอบทั้งหมด $3$ คำตอบ ดังนั้นจำนวนสมาชิกของเซต $A$ เท่ากับ $3$

[ANS] $3$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล การแก้สมการตรีโกณมิติ