กำหนดให้ $A$ แทนเซตคำตอบของสมการ

$$\log_3 \left( 3^{\left(2x^2+2x\right)} + 9 \right)  =  x^2 + x +\frac{1}{\log 3}$$

และให้ $B = \left\{x^2 \mid x \in A \right\}$

ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $B$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $x$ จากสมการที่โจทย์กำหนดให้[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\log_3 \left( 3^{\left(2x^2+2x\right)} + 9 \right)  &=&  x^2 + x +\frac{1}{\log 3}\\
\log_3 \left( 3^{\left(2x^2+2x\right)} + 9 \right) &=&   (x^2 + x)\log_3{3} +\frac{1}{\log 3}\\
\log_3 \left( 3^{\left(2x^2+2x\right)} + 9 \right)  &=& (x^2 + x)\log_3{3} +\frac{\log10}{\log 3}\\
\log_3 \left( 3^{\left(2x^2+2x\right)} + 9 \right)  &=& (x^2 + x)\log_3{3} +\log_3{10}\\
\log_3 \left( 3^{\left(2x^2+2x\right)} + 9 \right)  &=& \log_3{3^{x^2+x}}+\log_3{10}\\
\log_3 \left( 3^{\left(2x^2+2x\right)} + 9 \right)  &=& \log_3{3^{x^2+x}\cdot10}\\
 3^{\left(2x^2+2x\right)}+9&=&3^{(x^2+x)}\cdot10\\
3^{(x^2+x)\cdot2}-10\cdot3^{x^2+x}+9&=&0
\end{eqnarray*}

หลังจากนี้เราจะเปลี่ยนตัวแปร โดยที่ ให้

$$A=3^{(x^2+x)}$$

จะได้

$$3^{(x^2+x)\cdot2}-10\cdot3^{x^2+x}+9=A^2-10A+9$$

จากนั้นแก้สมการที่มีเฉพาะตัวแปร $A$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A^2-10A+9&=&0\\
(A-1)(A-9)&=&0\\
A&=1,9
\end{eqnarray*}

กรณี $A=1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A&=&1\\
3^{(x^2+x)}&=&3^0\\
x^2+x&=&0\\
x(x+1)&=&0\\
x&=&0,-1
\end{eqnarray*}

กรณี $A=9$

\begin{eqnarray*}
A&=&9\\
3^(x^2+x)&=&3^2\\
x^2+x&=&2\\
x^2+x-2&=&0\\
(x+2)(x-1)&=&0\\
x&=&1,-2
\end{eqnarray*}

[STEP]นำคำตอบ $x$ ที่ได้มาตรวจคำตอบ[/STEP]

เมื่อข้อสอบเป็น $\log$ จะต้องตรวจคำตอบทุกครั้งว่า เมื่อแทนคำตอบลงไปแล้ว ค่าใน $\log$ จะต้องมากกว่า $0$ เสมอ

ในข้อนี้เมื่อแทน $x$ ที่ได้ทั้งสี่ค่าลงไปในสมการที่กำหนดให้แล้วไม่มี $x$ ตัวไหนที่ทำให้ค่าใน $\log$ น้อยกว่าเท่ากับ $0$

ดังนั้น

$$A=\{0,-1,1,-2\}$$

[STEP]หาเซต $B$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
B&=&\{0^2,(-1)^2,1^2,(-2)^2\}\\
&=&\{0,1,1,4\}\\
&=&\{0,1,4\}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $B$ คือ

$$0+1+4=5$$

 

[ANS] $5$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการลอการิทึม