ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงที่มากที่สุดที่เป็นคำตอบของสมการ

$$\sqrt{14+3x-x^2} - \sqrt{9+5x-x^2} = 1$$

แล้วค่าของ $\left| \frac{4-12x^{-1} +9x^{-2}}{3x^{-2}-2x^{-1}} \right|$  เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาคำตอบของสมการที่กำหนดให้[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sqrt{14+3x-x^2}-\sqrt{9+5x-x^2}&=&1\\
\sqrt{14+3x-x^2}&=&1+\sqrt{9+5x-x^2}\\
\left(\sqrt{14+3x-x^2}\right)^2&=&\left(1+\sqrt{9+5x-x^2}\right)^2\\
14+3x-x^2&=&1+2\sqrt{9+5x-x^2}+9+5x-x^2\\
4-2x&=&2\sqrt{9+5x-x^2}\\
2-x&=&\sqrt{9+5x-x^2}\\
(2-x)^2&=&\left(\sqrt{9+5x-x^2}\right)^2\\
4-4x+x^2&=&9+5x-x^2\\
2x^2-9x-5&=&0\\
(2x+1)(x-5)&=&0\\
x&=&-\frac12,5
\end{eqnarray*}

[STEP]ตรวจคำตอบ $x$ ที่ได้[/STEP]

กรณีที่

$x=-\frac12$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{14-\frac32-\frac14}-\sqrt{9-\frac52-\frac14}&=&\sqrt{\frac{49}{4}}-\sqrt{25}{4}\\
&=&\frac72-\frac52\\
&=&1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=-\frac12$ เป็นคำตอบ

กรณีที่ 

$x=5$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{14+15-25}-\sqrt{9+25-25}&=&\sqrt{4}-\sqrt{9}\\
&=&2-3\\
&=&-1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=5$ ไม่ใช่คำตอบ

[STEP]หาค่าสิ่งที่โจทย์ถาม[/STEP]

จาก $x=-\frac{1}{2}$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x^{-1}&=&-2\\
x^{-2}&=&4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\left| \frac{4-12x^{-1} +9x^{-2}}{3x^{-2}-2x^{-1}} \right|&=&\left| \frac{4-12(-2)+9(4)}{3(4)-2(-2)} \right|\\
&=&\left| \frac{4+24+36}{12+4} \right|\\
&=&\left| \frac{64}{16} \right|\\
&=&\left|4\right|\\
&=&4
\end{eqnarray*}

 

[ANS] $4$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการติดรากที่ 2