ตู้นิรภัยมีรหัสเปิดตู้เป็นจำนวน $10$ หลัก คือ $ABCDEFGHIJ$ โดยที่ 

  1. $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\in \{ 0,1, 2, \cdots, 9\}$
    และ $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ เป็นจำนวนที่แตกต่างกันทั้งหมด
  2. $A,B,C,D$ เป็นจำนวนคี่ที่เรียงติดกันและ $A>B>C>D$
  3. $E,F,G$ เป็นจำนวนคู่ที่เรียงติดกันและ $E>F>G$
  4. $H>I>J$ และ $H+I+J=15$

ค่าของ $C+F+I$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แบ่งกรณีของ $ABCD$ ตามเงื่อนไขข้อ 2. [/STEP]

ข้อ $2.$ $A,B,C,D$ เป็นจำนวนคี่ที่เรียงติดกันและ $A>B>C>D$

โดยเลขคี่ที่มีให้เลือกใช้ คือ $9,7,5,3,1$ และเราต้องการเลขคี่ที่เรียงติดกันเท่านั้น จึงเหลือให้เลือกได้เพียงสองกรณีดังนี้

  • $ABCD=7531$ ตามลำดับ
  • $ABCD=9753$ ตามลำดับ

[STEP]พิจารณา $HIJ$ และ $EFG$ กรณี $ABCD=7531$[/STEP]

กรณีนี้ $ABCD=7531$ ตามลำดับ ทำให้เหลือเลขคี่อีกเพียงหนึ่งตัว คือ เลข $9$ ส่วน $EFG$ โจทย์กำหนดให้เป็นเลขคู่  และเนื่องจากเรามีเลขคู่ให้เลือกใช้ห้าตัว คือ $8,6,4,2,0$ เมื่อ $EFG$ เป็นเลขคู่ไปแล้วสามตัว ก็จะเหลือเลขคู่อีก $2$ ตัวเท่านั้น

ดังนั้น $HIJ$ จะประกอบไปด้วยเลข $9$ หนึ่งตัว และเลขคู่สองตัว

จากเงื่อนไขข้อ $4.$ ที่กำหนดให้ $H+I+J=15$ และจากการที่เราทราบแล้วว่าหนึ่งตัวใน $HIJ$ เป็นเลข $9$ ทำให้เรารู้ว่าเลขคู่สองตัวที่เหลือจะต้องมีผลรวมกันเท่ากับ $15-9 = 6$

แบ่ง $6$ ออกเป็นเลขโดดคู่สองตัวที่บวกกันได้ $6$
พบว่าแบ่งได้ $2$ กรณีดังนี้

  • $6=6+0$
  • $6=4+2$

(สาเหตุที่เราไม่แบ่ง $6$ เป็น $6=2+4$ เพราะสุดท้ายแล้วจะไปซ้ำกับกรณี $6=4+2$ เนื่องจากเราต้องเรียงลำดับ $HIJ$ จากมากไปน้อยอยู่ดี)

แต่ทั้งสองกรณีจะทำให้เลขคู่ที่เหลือ $3$ ตัวสำหรับ $EFG$ เป็นเลขที่ไม่เรียงกันเสมอ

  • กรณี $\cancel{HIJ=960}$ จะเหลือเลขคู่สำหรับ $EFG$ เป็น $8,4,2$ ซึ่งไม่เรียงติดกัน
  • กรณี $\cancel{HIJ=942}$ จะเหลือเลขคู่สำหรับ $EFG$ เป็น $8,6,0$ ซึ่งไม่เรียงติดกัน

ดังนั้นกรณี $\cancel{ABCD=7531}$ นั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้สอดคล้องกับเงื่อนไขทุกข้อ จึงตัดกรณีนี้ทิ้งไป

[STEP]พิจารณา $HIJ$ และ $EFG$ กรณี $ABCD=9753$[/STEP]

กรณีนี้มี $ABCD=9753$ ตามลำดับ ทำให้เหลือเลขคี่เป็น $1$ และเมื่อหักเลขคู่ที่ต้องนำไปใช้สำหรับ $EFG$ ออกสามตัวจะเหลือเลขคู่อีกสองตัวที่จะนำมาใช้สำหรับ $HIJ$

ดังนั้น $HIJ$ ประกอบด้วยเลข $1$ หนึ่งตัว และเลขคู่สองตัว

ทำนองเดียวกันกับขั้นตอนที่แล้ว จากเงื่อนไขข้อ $4.$ ที่กำหนดให้ $H+I+J=15$ เมื่อลบเลข $1$ ออกไปจะเหลือผลรวมของเลขโดดคู่สองตัวเป็น $15-1= 14$ 

แบ่ง $14$ ออกเป็นเลขโดดคู่สองจำนวนบวกกันเท่ากับ $14$
พบว่าแบ่งได้เพียงกรณีเดียว คือ

$$14=8+6$$

(ส่วนกรณีอื่นๆ จะไม่ได้เป็นเลขโดดคู่ หรือไม่ก็ซ้ำกับกรณีด้านบน)

ดังนั้นจะได้ว่า $HIJ$ เกิดจากเลข $1,8,6$ ซึ่งเมื่อเรียงลำดับจากมากไปน้อยแล้วจะได้ 

$$HIJ = 861\text{ ตามลำดับ}$$

พิจารณา $EFG$ จากเลขโดดคู่ที่เหลือจาก $HIJ$
เนื่องจาก $HIJ$ ได้ใช้เลขคู่ $8$ กับ $6$ ไปแล้ว ทำให้เราเหลือเลขคู่ที่จะนำมาใช้เป็น $EFG$ เป็น $4,2,0$ และเนื่องจาก $EFG$ ต้องเรียงลำดับจากมากไปหาน้อยเช่นเดียวกัน ดังนั้น

$$EFG=420\text{ ตามลำดับ}$$

สรุปรหัสเปิดตู้นิรภัยที่เป็นไปได้มีกรณีเดียว คือ 

$$ABCDEFGHIJ = 9753420861\text{ ตามลำดับ}$$

[STEP]คำนวณ $C+F+I$[/STEP]

จาก 

$$ABCDEFGHIJ = 9753420861\text{ ตามลำดับ}$$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
C &=& 5\\
F &=& 2\\
I &=& 6
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $$C+F+I=5+2+6 = 13$$

[ANS] B [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การนับแบบแยกกรณี โจทย์ปัญหาเชาว์