ถ้า $a,b,c,d,e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $5a=4b=3c=2d=e$  และ $a+2b+3c+4d+5e$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด  แล้วค่าของ $a+4b+3c+4d+e$  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]เปลี่ยนตัวแปรทุกตัวให้อยู่ในรูปตัวแปร $e$[/STEP]

จาก $5a=4b=3c=2d=e$ 

จะได้

\begin{eqnarray*}
a&=&\frac{e}{5}\\
b&=&\frac{e}{4}\\
c&=&\frac{e}{3}\\
d&=&\frac{e}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาเงื่อนไขของสิ่งที่โจทย์กำหนดให้[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a+2b+3c+4d+5e&=&\frac{e}{5}+2\cdot\frac{e}{4}+3\cdot\frac{e}{3}+4\cdot\frac{e}{2}+5e\\
&=&\frac{e}{5}+\frac{e}{2}+e+2e+5e\\
&=&\frac{7e}{10}+8e
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$a+2b+3c+4d+5e$$

จะมีค่าน้อยสุดเมื่อ $e$ มีค่าน้อยที่สุด

[STEP]หาค่า $e$ ที่น้อยที่สุด[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
a&=&\frac{e}{5}\\
b&=&\frac{e}{4}\\
c&=&\frac{e}{3}\\
d&=&\frac{e}{2}
\end{eqnarray*}

และ $a,b,c,d,e$ เป็นจำนวนเต็มบวก

แสดงว่า 

\begin{eqnarray*}
5|e\\
4|e\\
3|e\\
2|e
\end{eqnarray*}

และเราต้องการ $e$ ที่น้อยที่สุด ที่ $5,4,3,2$ หาร $e$ ลงตัว

ดังนั้น

$$e=\text{ ค.ร.น. ของ } 5,4,3 \text{ และ } 2$$

จะได้ว่า 

$$e=60$$

[STEP]คำนวณสิ่งที่โจทย์ต้องการ[/STEP]

จะได้

\begin{array}{ccccc}
a&=&\frac{60}{5}&=&12\\
b&=&\frac{60}{4}&=&15\\
c&=&\frac{60}{3}&=&20\\
d&=&\frac{60}{2}&=&30
\end{array}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a+4b+3c+4d+e&=&12+4\cdot15+3\cdot20+4\cdot30+60\\
&=&12+60+60+120+60\\
&=&312
\end{eqnarray*}

 

[ANS] $312$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคการแก้โจทย์ปัญหาข้อจำกัดจำนวนเต็ม โจทย์ปัญหาเชาว์