กำหนดให้ $P=Ax+By$ เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์  เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $3A=2B$  โดยมีอสมการข้อจำกัด ดังนี้

$$x+2y\leq 20,  7x+9y\leq105,  5x+3y\geq15,  x\geq0\text{ และ } y\geq0$$

ถ้า $P$ มีค่ามากที่สุดเท่ากับ $M$ และ $P$ มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ $N$ แล้ว  ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]วาดส่วนปิดล้อมด้วยอสมการเงื่อนไขที่กำหนดให้[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
x+2y&\leq& 20\\
7x+9y&\leq&105\\
 5x+3y&\geq&15\\
x&\geq&0\\
y&\geq&0
\end{eqnarray*}

นำเส้นทั้งหมดมาวาดกราฟ โดยวาดส่วนที่เป็นสมการก่อน จะได้

แรงเงาส่วนที่ตรงตามเงื่อนไข และเลือกเอาเฉพาะส่วนที่ทุกเงื่อนไขแรงเงาซ้ำกันทั้งหมด จะได้

จากรูปจะได้ว่ามีจุดมุมทั้งหมด $5$ จุด

โดยที่

จุดที่ $1$ คือ $(0,10)$

จุดที่ $2$ คือ $(0,5)$

จุดที่ $3$ คือ $(3,0)$ 

จุดที่ $4$ คือ $(15,0)$

จุดที่ $5$ คือจุดตัดระหว่างเส้นตรง $7x+9y=105$ กับเส้นตรง $x+2y=20$

\begin{eqnarray*}
7x+9y&=&105&\qquad\cdots(1)\\
x+2y&=&20&\qquad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

นำ $7\cdot(2)-(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
5&=&35\\
y&=&7
\end{eqnarray*}

นำ $y=7$ แทนใน $(2)$ จะได้

$$x=6$$

ดังนั้นจุดที่ $5$ คือ $(6,7)$

[STEP]หาค่าในสมการสุดประสงค์ของจุดมุมแต่ละจุดจะได้[/STEP]

จุดมุม $P=Ax+By$
$(0,10)$ $10B$
$(0,5)$ $5B$
$(3,0)$ $3A$
$(15,0)$ $15A$
$(6,7)$ $6A+7B$

และโจทย์กำหนดให้ว่า $3A=2B$ ดังนั้น $A=\frac23B$ จะได้

จุดมุม $P=Ax+By$
$(0,10)$ $10B$
$(0,5)$ $5B$
$(3,0)$ $3A=2B$
$(15,0)$ $15A=10B$
$(6,7)$ $6A+7B=11B$

เนื่องจาก $B>0$ 

ดังนั้นค่ามากสุดคือ $11B$

และน้อยสุดคือ $2B$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
M&=&11B\\
N&=&2B\\
M&=&11\left(\frac{N}{2}\right)\\
2M&=&11N
\end{eqnarray*}

 

 

[ANS] $2M=11N$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาคำตอบของปัญหากำหนดการเชิงเส้น