ถ้า $\displaystyle\int_{-2}^2 \left| x^2-7x+6 \right| dx = \frac{a}{b}$  เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $b\neq 0$  และ ห.ร.ม. ของ $a$ กับ $b$ เท่ากับ $1$  แล้วค่าของ $a+b$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ปลดค่าสัมบูรณ์[/STEP]

เนื่องจากเราต้องการจะอินทิเกรตแต่เราไม่สามารถอินทิเกรตค่าสัมบูรณ์ได้ ดังนั้น เราจะเริ่มต้นด้วยกันปลดค่าสมบรูณ์

โดยที่

$$\left|a\right|=\begin{cases}
a&,&\text{เมื่อ }a\geq0\\
-a&,&\text{เมื่อ }a<0
\end{cases}$$

ดังนั้นการที่เราจะปลดค่าสัมบูรณ์ได้ จะต้องรู้ก่อนว่าสิ่งที่อยู่ในค่าสัมบูรณ์มีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่า $0$

\begin{eqnarray*}
x^2-7x+6=(x-1)(x-6)
\end{eqnarray*}

วาดเส้นจำนวน จะได้

ดังนั้น

$$\left|x^2-7x+6\right|=\begin{cases}
x^2-7x+6&,&\text{เมื่อ }x\leq1\text{ หรือ }x\geq6\\
-(x^2-7x+6)&,&\text{เมื่อ }1<x<6
\end{cases}$$

[STEP]แบ่งช่วงอินทิเกรต[/STEP]

เราต้องการอินทิเกรตช่วง $-2$ ถึง $2$ ซึ่งจะเห็นว่าในค่าสัมบูรณ์มีทั้งบวกและลบ จึงต้องแบ่งช่วงอินทิเกรต

\begin{eqnarray*}
\int_{-2}^{2}\left|x^2-7x+6\right|dx&=&\int_{-2}^{1}\left|x^2-7x+6\right|dx+\int_{1}^{2}\left|x^2-7x+6\right|dx\\
&=&\int_{-2}^{1}x^2-7x+6dx+\int_{1}^{2}-(x^2-7x+6)dx\\
&=&\int_{-2}^{1}x^2-7x+6dx-\int_{1}^{2}x^2-7x+6dx\\
&=&\left[\frac{x^3}{3}-7\frac{x^2}{2}+6x\right]_{x=-2}^{x=1}-\left[\frac{x^3}{3}-7\frac{x^2}{2}+6x\right]_{x=1}^{x=2}\\
&=&\left((\frac13-\frac72+6)-(-\frac{8}{3}-14-12)\right)-\left((\frac83-14+12)-(\frac13-\frac72+6)\right)\\
&=&\left(\frac13-\frac72+6+\frac83+14+12\right)-\left(\frac83-14+12-\frac13+\frac72-6\right)\\
&=&\left(35-\frac72\right)-\left(\frac73+\frac72-8\right)\\
&=&35-\frac72-\frac73-\frac72+8\\
&=&36-\frac73\\
&=&\frac{101}{3}
\end{eqnarray*}

และห.ร.ม. ของ $101$ กับ $3$ คือ $1$ 

ดังนั้น $a=101$ และ $b=3$

$$a+b=104$$

 

[ANS] $104$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต