ต้องการสร้างจำนวนสามหลัก โดยที่มีตัวเลข $5$ อย่างน้อย $1$ หลัก  แต่ไม่มีตัวเลข $7$ ในหลักใดเลย  มีจำนวนวิธีสร้างจำนวนสามหลักเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แบ่งกรณี[/STEP]

จาก keyword ที่บอกว่า "อย่างน้อย $1$ หลัก" เป็นตัวบอกว่าข้อนี้น่าจะใช้วิธีการนับนิเสธ

โดยปกติในการสร้างจำนวนสามหลักจากเลขโดด เราจะเลือกตัวเลขจาก $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ ซึ่งมีทั้งหมด $10$ ตัวมาสร้าง แต่เนื่องจากโจทย์ต้องการจำนวนที่ไม่มีเลข $7$ เลย เราจึงสร้างจำนวนสามหลักมาจากตัวเลข $0,1,2,3,4,5,6,\cancel{7},8,9$ ซึ่งไม่รวมเลข $7$ และมีทั้งหมดแค่ $9$ ตัว

จากนั้นเราจะใช้การนับนิเสธของการสร้างจำนวนสามหลักที่โจทย์ต้องการดังนี้

$$\left(\text{มีเลข }5\text{ อย่างน้อยหนึ่งตัวแต่ไม่มี $7$}\right) = \left(\text{ไม่มีเลข $7$}\right)  - \left(\text{ไม่มีเลข $7$ และไม่มีเลข $5$ เลย}\right)$$

[STEP]นับจำนวนสามหลักที่ไม่มีเลข $7$[/STEP]

เราจะใช้วิธีวางตำแหน่งของเลขสามหลักไว้ $3$ ตำแหน่ง แล้วเลือกเลขโดด $0,1,2,3,4,5,6,\cancel{7},8,9$ มาใส่

เนื่องจากหลักร้อยไม่สามารถเป็นเลข $0$ ได้ เราจึงเลือกตัวเลขมาใส่หลักแรกได้ $8$ วิธี

ส่วนหลักสิบและหลักหน่วยเราสามารถใช้ตัวเลข $0,1,2,3,4,5,6,\cancel{7},8,9$ ได้ทุกตัว จึงเลือกตัวเลขมาใส่ได้หลักละ $9$ วิธี

เมื่อนำจำนวนวิธีการเลือกตัวเลขของทั้งสามหลักมาคูณกัน ก็จะได้จำนวนสามหลักที่ไม่มีเลข $7$ เลยเท่ากับ

$$8\times 9\times 9\text{ จำนวน}$$ 

[STEP]นับจำนวนสามหลักที่ไม่มีเลข $7$ และไม่มีเลข $5$[/STEP]

เราใช้วิธีเดียวกันกับกรณีที่แล้วเลย เพียงแต่ครั้งนี้เรามีตัวเลขให้เลือกมาใส่แค่ $8$ ตัว คือ $0,1,2,3,4,\cancel{5},6,\cancel{7},8,9$ ไม่รวม $7$ กับ $5$

หลักร้อยไม่สามารถเลือก $0$ มาใส่ได้ เราจึงเลือกตัวเลขมาใส่หลักร้อยได้เพียง $7$ วิธี

ส่วนหลักสิบและหลักหน่วยเราสามารถใช้ตัวเลข $0,1,2,3,4,\cancel{5},6,\cancel{7},8,9$ มาใส่ได้ครบทุกตัว นั่นคือ แต่ละหลักเลือกได้ $8$ วิธี

นำจำนวนวิธีการเลือกตัวเลขมาใส่แต่ละหลักมาคูณกัน ก็จะได้จำนวนสามหลักที่ไม่มีเลข $7$ และไม่มีเลข $5$ เลย เท่ากับ

$$7\times 8 \times 8\text{ จำนวน}$$

[STEP]คำนวณจำนวนสามหลักที่มีเลข $5$ อย่างน้อยหนึ่งหลักแต่ไม่มีเลข $7$ เลย[/STEP]

จากการแบ่งกรณีในขั้นตอนแรก จะได้

\begin{eqnarray*}
\text{ จำนวนสามหลักที่ต้องการ} &=& \left(\text{จำนวนสามหลักไม่มีเลข $7$}\right) - \left( \text{จำนวนสามหลักไม่มีเลข } 7 \text{ และไม่มีเลข }5 \right)\\
&=& 8\times 9 \times 9 - 7\times 8 \times 8\\
&=& 8\left( 9\times 9 - 7\times 8\right)\\
&=& 8 \left( 81 - 56 \right)\\
&=& 8 \times 25 \\
&=& 200
\end{eqnarray*}

[ANS] D มี $200$ จำนวน [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การนับนิเสธ การเรียงสับเปลี่ยน การแบ่งกลุ่มแบบมีกลุ่มขนาดซ้ำกัน