กำหนดให้ $\vec{u},\vec{v}$ และ $\vec{w}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในสามมิติ  พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) = \vec{w}\cdot\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)$

ข. ถ้า $\left| \vec{u} \right| = \left| \vec{w} \right|$, $\left| \vec{u} - \vec{v} \right| = \left| \vec{v} + \vec{w} \right|$ และเวกเตอร์ $\vec{u}$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $\vec{v}$ แล้วเวกเตอร์ $\vec{v}$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $\vec{w}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้กฎการเปลี่ยนกลุ่มการดอทและการครอสเวกเตอร์ตรวจสอบข้อความ ก.[/STEP]

จากกฎการเปลี่ยนกลุ่มการดอทและการครอสเวกเตอร์บอกว่า

$$\vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}$$

และกฎการสลับที่การครอสที่ต้องมีทิศทางตรงกันข้ามกับผลครอสเดิม (ติดลบ)

$$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$$

เราจะพิสูจน์ว่าข้อความ ก. เป็นจริงโดยเริ่มจากทางซ้ายของสมการ

\begin{eqnarray*}
\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) & = & \vec{u}\cdot\left(-\vec{w}\times\vec{v}\right)\\
 & = & \vec{u}\cdot\left(\left(-\vec{w}\right)\times\vec{v}\right)\\
 & = & \left(\vec{u}\times\left(-\vec{w}\right)\right)\cdot\vec{v}\\
 & = & \left(-\left(-\vec{w}\right)\times\vec{u}\right)\cdot\vec{v}\\
 & = & \left(\vec{w}\times\vec{u}\right)\cdot\vec{v}
\end{eqnarray*}

จากนั้นใช้กฎการสลับที่การดอทกับการครอสอีกครั้ง

\begin{eqnarray*}
\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) & = & \left(\vec{w}\times\vec{u}\right)\cdot\vec{v}\\
 & = & \vec{w}\cdot\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)
\end{eqnarray*}

 

ซึ่งตรงกับข้อความ ก. แล้ว ดังนั้น ก. ถูก

[STEP]ตรวจสอบข้อความ ข. โดยใช้สูตรกำลังสองของผลบวก-ผลต่างขนาดเวกเตอร์[/STEP]

จาก $\left|\vec{u}-\vec{v}\right|=\left|\vec{v}+\vec{w}\right|$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วใช้สูตรกำลังสองของผลบวก-ผลต่างขนาดเวกเตอร์ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}-\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{v}+\vec{w}\right|^{2}\\
\left|\vec{u}\right|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\left|\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{v}\right|^{2}+2\vec{v}\cdot\vec{w}+\left|\vec{w}\right|^{2}
\end{eqnarray*}

ใช้เงื่อนไขที่ว่า $\left|\vec{u}\right|=\left|\vec{w}\right|$ ตัด $\left|\vec{u}\right|^{2}$ และ $\left|\vec{w}\right|^{2}$ จากทั้งสองข้างออกไป และตัด $\left|\vec{v}\right|^{2}$ ของทั้งสองข้างของสมการออกไปพร้อมกัน จะเหลือ

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}\right|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\left|\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{v}\right|^{2}+2\vec{v}\cdot\vec{w}+\left|\vec{w}\right|^{2}\\
-2\vec{u}\cdot\vec{v} & = & 2\vec{v}\cdot\vec{w}\\
\frac{1}{2}\left(-2\vec{u}\cdot\vec{v}\right) & = & \frac{1}{2}\left(2\vec{v}\cdot\vec{w}\right)\\
-\vec{u}\cdot\vec{v} & = & \vec{v}\cdot\vec{w}
\end{eqnarray*}

ข้อความ ข. ยังบอกอีกว่าให้เวกเตอร์ $\vec{u}$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $\vec{v}$ นั่นคือ $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ แทนค่าลงในสมการจะได้

\begin{eqnarray*}
\vec{v}\cdot\vec{w} & = & -\vec{u}\cdot\vec{v}\\
 & = & -\left(0\right)\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}

เราจึงทราบว่า $\vec{v}\cdot \vec{w} = 0$ เช่นเดียวกัน นั่นคือ $\vec{v}$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $\vec{w}$ เป็นข้อสรุปที่ถูกต้องแล้ว ดังนั้น ข. ถูก

 

[ANS] A [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์กับการดอท การครอสเวกเตอร์