,

วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของ $\arccos$ ทั้งสองมุม

กำหนดให้ $A=\arccos\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$ และ $B=\arccos\frac{1+\sqrt6}{2\sqrt3}$

วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม $A$ ซึ่งมี $\cos{A} = \frac{\sqrt2}{\sqrt3}$ 

คำนวณความยาวอีกด้านที่เหลือ โดยใช้ทฤษฎีปีทาโกรัสและสมมุติให้อีกด้านที่เหลือยาว $x$ หน่วย 

$$\begin{eqnarray*} x^{2}+\sqrt{2}^{2} & = & \sqrt{3}^{2}\\ x^{2}+2 & = & 3\\ x^{2} & = & 3-2\\ x^{2} & = & 1\\ x & = & \pm1 \end{eqnarray*}$$

แต่ $x$ เป็นความยาวด้าน จึงได้ $x=1$ ซึ่งเมื่อเติมลงไปในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้

เมื่ออ่านค่า $\tan{A}$ จากรูปสามเหลี่ยมนี้จะได้

$$\begin{eqnarray*} \tan{A} &=& \frac{1}{\sqrt2}\\ &=& \frac{1}{\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2}\\ &=& \frac{\sqrt2}{{\sqrt{2}}^2}\\ &=& \frac{\sqrt2}{2} \end{eqnarray*}$$

วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม $B$ ซึ่งมี $\cos{B} = \frac{1+\sqrt6}{2\sqrt3}$  

คำนวณอีกด้านที่เหลือในลักษณะเดียวกัน โดยกำหนดให้อีกด้านยาว $y$ หน่วย

$$\begin{eqnarray*} y^{2}+\left(1+\sqrt{6}\right)^{2} & = & \left(2\sqrt{3}\right)^{2}\\ y^{2}+\left(1+2\left(1\right)\sqrt{6}+\sqrt{6}^{2}\right) & = & 2^{2}\sqrt{3}^{2}\\ y^{2}+1+2\sqrt{6}+6 & = & 4\left(3\right)\\ y^{2}+7+2\sqrt{6} & = & 12\\ y^{2} & = & 12-7-2\sqrt{6}\\ y^{2} & = & 5-2\sqrt{6} \end{eqnarray*}$$

เนื่อง $y$ เป็นความยาวด้าน(ซึ่งต้องมีค่าเป็นบวก) ดังนั้นเราจะได้ 

$$y=\sqrt{5-2\sqrt6}$$

ซึ่งเป็นรากที่สองซ้อน เราจึงถอดรากที่สองออกโดยหาจำนวนสองจำนวนที่มีผลคูณเป็น $6$ และมีผลบวกเป็น $5$ ซึ่งก็คือ $3$ กับ $2$ นั่นเอง ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} y & = & \sqrt{5-2\sqrt{6}}\\  & = & \left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|\\  & = & \sqrt{3}-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$$

ซึ่งเมื่อเติมลงไปในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว จะได้

อ่านค่า $\tan{B}$ จากสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนี้จะได้

$$\begin{eqnarray*} \tan B & = & \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{6}}\\  & = & \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{6}}\cdot\frac{1-\sqrt{6}}{1-\sqrt{6}}\\  & = & \frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{6}\right)}{1^{2}-\sqrt{6}^{2}}\\  & = & \frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{2}\sqrt{6}}{1-6}\\  & = & \frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{-5}\\  & = & \frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{-5}\\  & = & \frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{5} \end{eqnarray*}$$

,

จากที่กำหนดให้ $A=\arccos\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$ และ $B=\arccos\frac{1+\sqrt6}{2\sqrt3}$ เราจะได้ว่าสิ่งที่โจทย์ถาม คือ

$$\begin{eqnarray*} \cot\left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \arccos\frac{1+\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\right) &=& \cot\left(A-B\right) \\  & = & \frac{1}{\tan\left(A-B\right)}\\  & = & \frac{1}{\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}}\\  & = & \frac{1+\tan A\tan B}{\tan A-\tan B} \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $\tan{A} = \frac{\sqrt2}{2}$ และ $\tan{B} = \frac{4\sqrt2-3\sqrt3}{5}$ ที่คำนวณได้จากขั้นตอนที่แล้วลงไป จะได้

$$\begin{eqnarray*} \cot\left(A-B\right) & = & \frac{1+\tan A\tan B}{\tan A-\tan B}\\  & = & \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{5}} \end{eqnarray*}$$

ปรับส่วนให้เป็น $10$ เท่ากันแล้วตัดส่วน $10$ ทั้งตรงตัวเศษและตัวส่วนทิ้ง

$$\begin{eqnarray*} \cot\left(A-B\right) & = & \frac{\frac{10}{\cancel{10}}+\frac{4\sqrt{2}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{3}}{\cancel{10}}}{\frac{5\sqrt{2}}{\cancel{10}}-\frac{8\sqrt{2}-6\sqrt{3}}{\cancel{10}}}\\  & = & \frac{10+4\left(2\right)-3\sqrt{6}}{5\sqrt{2}-8\sqrt{2}+6\sqrt{3}}\\  & = & \frac{10+8-3\sqrt{6}}{-3\sqrt{2}+6\sqrt{3}}\\  & = & \frac{18-3\sqrt{6}}{6\sqrt{3}-3\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$$

ดึงตัวร่วม $3$ ออกทั้งเศษและส่วน แล้วตัดกัน

$$\begin{eqnarray*} \cot\left(A-B\right) & = & \frac{\cancel{3}\left(6-\sqrt{6}\right)}{\cancel{3}\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}\\  & = & \frac{6-\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$$

คูณด้วยคอนจูเกทของพจน์ล่างทั้งเศษและส่วน

$$\begin{eqnarray*} \cot\left(A-B\right) & = & \frac{6-\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\  & = & \frac{\left(6-\sqrt{6}\right)\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{2}^{2}}\\  & = & \frac{12\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}\sqrt{2}}{4\left(3\right)-2}\\  & = & \frac{12\sqrt{3}+\cancel{6\sqrt{2}}\cancel{-6\sqrt{2}}-2\sqrt{3}}{12-2}\\  & = & \frac{\cancel{10}\sqrt{3}}{\cancel{10}}\\  & = & \sqrt{3} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $\cot\left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \arccos\frac{1+\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\right) = \sqrt3$