กำหนดให้ $\theta$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ  พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $16\sin^3\theta\cos^2\theta = 2\sin\theta+\sin 3\theta-\sin 5\theta$

ข. $\sin 3\theta = \left(\sin 2\theta + \sin \theta \right)\left(2\cos \theta - 1\right)$

ข้อใดต่อไปนี้ถูก

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ทดลองแทนค่ามุมที่คำนวณง่ายๆ เช่น $\theta=30^{\circ}$ ลงในข้อความ ก. และ ข.[/STEP]

ทดลองแทนค่า $\theta=30^{\circ}$ ลงใน ก. จะได้

\begin{eqnarray*}
16\sin^{3}30^{\circ}\cos^{2}30^{\circ} & = & 2\sin30^{\circ}+\sin\left(3\times30^{\circ}\right)-\sin\left(5\times30^{\circ}\right)\\
16\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} & = & 2\left(\frac{1}{2}\right)+\sin90^{\circ}-\sin150^{\circ}\\
16\left(\frac{1}{8}\right)\left(\frac{3}{4}\right) & = & 1+\left(1\right)-\sin30^{\circ}\\
\frac{3}{2} & = & 2-\frac{1}{2}\\
\frac{3}{2} & = & \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่าเป็นจริง

ลองแทนค่า $\theta=30^{\circ}$ ลงใน ข.

\begin{eqnarray*}
\sin\left(3\times30^{\circ}\right) & = & \left(\sin\left(2\times30^{\circ}\right)+\sin30^{\circ}\right)\left(2\cos30^{\circ}-1\right)\\
\sin90^{\circ} & = & \left(\sin60^{\circ}+\sin30^{\circ}\right)\left(2\cos30^{\circ}-1\right)\\
1 & = & \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-1\right)\\
1 & = & \frac{1}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\\
1 & = & \frac{1}{2}\left(3-1\right)\\
1 & = & 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าเป็นจริงเช่นเดียวกัน ดังนั้นข้อความทั้งสองมีแนวโน้มว่าจะเป็นจริง เราจึงพยายามพิสูจน์ หรือถ้าหากไม่มีเวลาเราควรเดาว่าเป็นจริงทั้งข้อ ก. และ ข.

[STEP]พิสูจน์ข้อความ ก.[/STEP]

สูตรหลักๆ ที่เราจะใช้ในการพิสูจน์ครั้งนี้ คือ สูตรมุมสามเท่า

\begin{eqnarray*}
\sin3\theta & = & 3\sin\theta-4\sin^{3}\theta\\
\cos3\theta & = & 4\cos^{3}\theta-3\cos\theta
\end{eqnarray*}

จัดรูปด้านซ้ายของสมการให้อยู่ในรูปของ $\sin\theta$ ให้หมด โดยกระจาย $\sin5\theta$ เป็น $\sin\left(2\theta+3\theta\right)$ ใช้สูตรมุมสามเท่าแล้วใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณมิติ $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

เพื่อความกระชับ ต่อไปนี้จะเขียน $s$ แทน $\sin\theta$ และเขียน $c$ แทน $\cos\theta$

\begin{eqnarray*}
2\sin\theta+\sin3\theta-\sin5\theta & = & 2s+\left(3s-4s^{3}\right)-\left(\sin2\theta\cos3\theta+\sin3\theta\cos2\theta\right)\\
 & = & 2s+3s-4s^{3}-\left(\left(2sc\right)\left(4c^{3}-3c\right)+\left(3s-4s^{3}\right)\left(1-2s^{2}\right)\right)\\
 & = & 5s-4s^{3}-\left(8sc^{4}-6sc^{2}+3s-6s^{3}-4s^{3}+8s^{5}\right)\\
 & = & 5s-4s^{3}-8sc^{4}+6sc^{2}-3s+10s^{3}-8s^{5}\\
 & = & 2s+6s^{3}-8sc^{4}+6sc^{2}-8s^{5}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ โดยจะได้ $c^4 = (c^2)^2 = (1-s^2)^2$

\begin{eqnarray*}
2s+6s^{3}-8s\left(1-s^{2}\right)^{2}+6s\left(1-s^{2}\right)-8s^{5} & = & 2s+6s^{3}-8s\left(1-2s^{2}+s^{4}\right)+6s\left(1-s^{2}\right)-8s^{5}\\
 & = & 2s+6s^{3}-8s+16s^{3}-8s^{5}+6s-6s^{3}-8s^{5}\\
 & = & 16s^{3}-16s^{5}
\end{eqnarray*}

ดึงตัวร่วม $16s^3$ ออก แล้วใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณมิติอีกครั้ง

\begin{eqnarray*}
16s^{3}-16s^{5} & = & 16s^{3}\left(1-s^{2}\right)\\
 & = & 16s^{3}\left(c^{2}\right)\\
 & = & 16\sin^{3}\theta\cos^{2}\theta
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่าเท่ากับด้านซ้ายของสมการในข้อ ก. ดังนั้น ก. ถูก

[STEP]พิสูจน์ข้อความ ข.[/STEP]

จากสูตร $\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ เราจะจัดรูปด้านขวาให้อยู่ในรูปของ $\sin\theta$ แล้วพิสูจน์ให้ได้ว่าตรงกับสูตรนี้

เปลี่ยน $\sin2\theta$ เป็น $2\sin\theta\cos\theta$ 

ต่อไปนี้จะเขียน $s$ แทน $\sin\theta$ และเขียน $c$ แทน $\cos\theta$

\begin{eqnarray*}
\left(\sin2\theta+\sin\theta\right)\left(2\cos\theta-1\right) & = & \left(2sc+s\right)\left(2c-1\right)\\
 & = & 4sc^{2}-2sc+2sc-s\\
 & = & 4sc^{2}-s
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\cos^2\theta$ ด้วย $1-\sin^2\theta$

\begin{eqnarray*}
4sc^{2}-s & = & 4s\left(1-s^{2}\right)-s\\
 & = & 4s-4s^{3}-s\\
 & = & 3s-4s^{3}\\
 & = & 3\sin\theta-4\sin^{3}\theta
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าตรงกับสูตร $\sin3\theta$ ดังนั้นข้อความ ข. ถูก

[ANS] A [/ANS]

โดยทั่วไปการทดลองแทนค่าเราจะเริ่มจากมุมที่คำนวณค่า $\sin$ กับ $\cos$ ง่ายกว่าในเฉลยด้านบน นั่นคือ เริ่มแทนด้วย $\theta=0$ ซึ่งจะพบว่าสมการทั้งในข้อ ก. และ ข. ต่างก็เป็นจริง แต่เนื่องจากการแทน $\theta=0$ นั่นชัดเจนและง่ายเกินไป ในเฉลยจึงเลือกทำกรณีที่แทน $\theta = 30^{\circ}$ ให้ดู

สำหรับสูตรมุมสามเท่านั้นสามารถพิสูจน์โดยอาศัยสูตรไซน์กับโคไซน์ของผลบวกและผลต่างมุมกับสูตรปีทาโกรัสของตรีโกณได้เช่นเดียวกัน สำหรับน้องๆ ที่จำสูตรนี้ไม่ได้ก็ยังสามารถทำโจทย์ข้อนี้ได้โดยอาจเสียเวลาพิสูจน์สูตรนี้อีกครั้ง หรือกระจายมุมหลายเท่าจนเหลือเพียงมุม $\theta$ ก็ได้เช่นเดียวกัน

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า การพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ