พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ให้ $P(x,y)$ เป็นจุดใด ๆ ในระนาบ  ถ้าผลบวกของระยะทางจากจุด $P(x,y)$ ไปยังจุด $(0,-2)$ และระยะทางจากจุด $P(x,y)$ ไปยังจุด $(2,-2)$ เท่ากับ $2\sqrt{5}$ แล้วเซตของจุด $P(x,y)$ คือ $\left\{(x,y)\mid 4x^2+5y^2-8x+20y-12=0\right\}$

ข. จุด $(1,1)$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y=x^2$ ที่อยู่ใกล้กับเส้นตรง $y=2x-4$ มากที่สุด

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]สร้างสมการวงรีจากข้อความ ก.[/STEP]

วิเคราะห์รูปกราฟและหาจุดศูนย์กลาง

จากนิยามของจุดบนวงรีที่มีลักษณะเป็น "เซตของจุดที่มีผลรวมระยะทางไปยังจุดคงที่สองจุด"

จุดคงที่ทั้งสองที่โจทย์กำหนดให้ คือ $(0,-2)$ และ $(2,-2)$ ซึ่งจะเป็นจุดโฟกัสทั้งสองของวงรีรูปนี้ ในขณะที่จุดศูนย์กลางของวงรีรูปนี้ คือ จุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสอง นั่นคือ $(1,-2)$ ทำให้เราทราบจากรูปว่าเป็นกราฟวงรีแนวนอน

หาค่าคงตัว $a,b$ และ $c$ ของวงรี

จากการที่จุดโฟกัสทั้งสอง คือ $(0,2)$ กับ $(2,-2)$ ห่างกัน $2$ หน่วย เราจะได้ $2c=2$ ดังนั้น $c=1$

จากผลรวมของระยะห่างไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ $2\sqrt5$ ซึ่งเท่ากับ $2a$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2a & = & 2\sqrt{5}\\
a & = & \frac{2\sqrt{5}}{2}\\
a & = & \sqrt{5}
\end{eqnarray*}

เมื่อเราทราบทั้งค่า $c=1$ และ $a=\sqrt5$ แล้ว เราสามารถใช้สมการความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b$ และ $c$ ของวงรีเพื่อหาค่า $b$ ได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
a^{2} & = & b^{2}+c^{2}\\
\sqrt{5}^{2} & = & b^{2}+1^{2}\\
5 & = & b^{2}+1\\
5-1 & = & b^{2}\\
b^{2} & = & 4\\
b & = & \pm2
\end{eqnarray*}

เนื่องจากเราสนใจเฉพาะ $b$ ที่เป็นบวก ดังนั้น $b=2$

สร้างสมการวงรีแนวนอน
มีจุดศูนย์กลางที่ $(1,-2)$ มี $a=\sqrt5$ กับ $b=2$

\begin{eqnarray*}
\frac{\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}} & = & 1\\
\frac{\left(x-1\right)^{2}}{\sqrt{5}^{2}}+\frac{\left(y+2\right)^{2}}{2^{2}} & = & 1\\
\frac{\left(x-1\right)^{2}}{5}+\frac{\left(y+2\right)^{2}}{4} & = & 1
\end{eqnarray*}

คูณตลอดด้วย ค.ร.น. ของ $5$ กับ $4$ ซึ่งก็คือ $20$ ย้ายทุกพจน์มาด้านซ้ายแล้วจัดรูป

\begin{eqnarray*}
20\cdot\frac{\left(x-1\right)^{2}}{5}+20\cdot\frac{\left(y+2\right)^{2}}{4} & = & 20\cdot1\\
\cancelto{4}{20}\cdot\frac{\left(x^{2}-2x+1\right)}{\cancel{5}}+\cancelto{5}{20}\cdot\frac{\left(y^{2}+4y+4\right)}{\cancel{4}} & = & 20\\
4\left(x^{2}-2x+1\right)+5\left(y^{2}+4y+4\right) & = & 20\\
4x^{2}-8x+4+5y^{2}+20y+\cancel{20} & = & \cancel{20}\\
4x^{2}+5y^{2}-8x+20y+4 & = & 0
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าสมการวงรีที่ได้ไม่ตรงกับที่ข้อความ ก. กล่าวไว้ ดังนั้น ก. ผิด

[STEP]หาจุดบน $y=x^2$ ที่ใกล้กับเส้นตรง $y=2x-4$ มากที่สุดแล้วเทียบกับข้อความ ข.[/STEP]

จุดที่อยู่ใกล้กันมากที่สุดของกราฟพหุนามสองกราฟจะเป็นจุดตัดหรือไม่ก็เป็นจุดที่มีความชันเท่ากัน แต่เนื่องจากกราฟ $y=x^2$ กับ $y=2x-4$ ไม่ตัดกัน
(เราทราบว่ากราฟทั้งสองไม่ตัดกันเพราะถ้าหากนำ $x^2$ มาจับเท่ากับ $2x-4$ แก้สมการจะได้ว่าไม่มี $x$ เป็นจำนวนจริงเป็นคำตอบเลย) ดังนั้นเราจะใช้วิธีหาจุดบนทั้งสองกราฟที่มีความชันเท่ากัน

เนื่องจากความชันของกราฟเส้นตรง $y=2x-4$ มีค่า $m=2$ ดังนั้นความชันของเส้นตรงนี้มีค่าคงที่เท่ากับ $2$ ตลอดทั้งเส้น ในขณะที่ความชันของกราฟพาราโบลา $y=x^2$ สามารถคำนวณโดยดิฟสมการพาราโบลานี้

\begin{eqnarray*}
y & = & x^{2}\\
\frac{d}{dx}y & = & \frac{d}{dx}x^{2}\\
\frac{dy}{dx} & = & 2x\\
y' & = & 2x
\end{eqnarray*}

ดังนั้นความชันที่จุดใดๆ ของกราฟ $y=x^2$ มีค่าเป็น $y'(x)=2x$

เราต้องการหาจุดที่มีความชันเท่ากัน เราจึงจับ $y'(x)=2x$ ของสมการพาราโบลามาเท่ากับ $m=2$ ความชันของสมการเส้นตรง แล้วแก้หาค่าพิกัดแกน $x$

\begin{eqnarray*}
2x & = & 2\\
\frac{2x}{2} & = & \frac{2}{2}\\
x & = & 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุดที่อยู่ใกล้กันมากที่สุดจะมีพิกัดแกน $x$ เท่ากับ $1$ จากนั้นแทนค่า $x=1$ ลงในสมการพาราโบลา(เพราะเราต้องการจุดบนพาราโบลา) จะได้

\begin{eqnarray*}
y & = & x^{2}\\
y & = & \left(1\right)^{2}\\
y & = & 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุดบนพาราโบลา $y=x^2$ ที่ใกล้กับเส้นตรง $y=2x-4$ มากที่สุด คือ จุด $(1,1)$ ซึ่งข้อ ข. กล่าวได้ถูกต้องแล้ว

[ANS] C [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การสร้างสมการวงรี พาราโบลา ความชันของเส้นโค้ง