ให้ $X'$ แทนคอมพลีเมนต์ของเซต $X$ และ $n(X)$ แทนจำนวนสมาชิกในเซต $X$ กำหนดให้ $\mathscr{U}$ แทนเอกภพสัมพัทธ์ ถ้า $A$ และ $B$ เป็นสับเซตใน $\mathscr{U}$ โดยที่ $n(A'\cup B)=30$, $n(A\cup B')=18$, $n(A\cap B)=3$ และ $n(A'-B)=8$ แล้วจงหาจำนวนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปส่วนต่าง ๆ ที่โจทย์กำหนดให้[/STEP]

จาก $n(A'\cup B)=30$ จะได้

 

รูปที่ $1$

จาก $n(A\cup B')=18$ จะได้

 

รูปที่ $2$

จาก $n(A\cap B)=3$ จะได้

 

รูปที่ $3$

จาก $n(A'-B)=8$ จะได้

 

รูปที่ $4$

[STEP]หาสมาชิกในส่วนต่าง ๆ ของแผนภาพ[/STEP]

นำส่วนที่รู้จำนวนสมาชิกแล้ว จากรูปที่ $3$ และ รูปที่ $4$ แทนค่าลงไปในรูปที่ $1$ จะได้

ซึ่งผลรวมส่วนที่แรเงาทั้งหมดจะต้องเท่ากับ $30$ ดังนั้น $$x=19$$

นำส่วนที่รู้จำนวนสมาชิกแล้ว จากรูปที่ $3$ และ รูปที่ $4$ แทนค่าลงไปในรูปที่ $2$ จะได้

ซึ่งผลรวมส่วนที่แรเงาทั้งหมดจะต้องเท่ากับ $18$ ดังนั้น $$x=7$$

นำจำนวนสมาชิกทั้งหมดมารวมกันจะได้

ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
n(\mathscr{U})&=&8+7+3+19\\
&=&37
\end{eqnarray*}

 

[ANS] C   $(37)$ [/ANS]

 

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์ปัญหาแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ที่ไม่ใช้สูตรยูเนียน