ให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ $5$ และ $6$ ตามลำดับ และจำนวนสมาชิกของ $A\cup B$ เท่ากับ $9$
แล้วข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง

ก.  ความสัมพันธ์ใน $A\cap B$ มี $16$ ความสัมพันธ์

ข.  ความสัมพันธ์จาก $B-A$ ไป $A-B$ มี $128$ ความสัมพันธ์

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $n(A\cap B)$, $n(A-B)$ และ $n(B-A)$[/STEP]

ให้ $n(A\cap B)=x$ จะได้ 

\begin{eqnarray*}
n\left(A\cup B\right) & = & n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)\\
9 & = & 5+6-x\\
x & = & 2
\end{eqnarray*}

จะได้ $n(A\cap B)=2$, $n(A-B)=3$ และ $n(B-A)=4$

[STEP]คำนวณความสัมพันธ์ใน $A\cap B$ และจาก $B-A$ ไป $A-B$[/STEP]

ความสัมพันธ์ภายใน $A\cap B$ คือ ความสัมพันธ์จาก $A\cap B$ ไป $A\cap B$ ซึ่งจะเท่ากับจำนวนสมาชิกของ $P((A\cap B)\times(A\cap B))$

\begin{eqnarray*}
n\left(P((A\cap B)\times(A\cap B))\right) & = & 2^{n\left(A\cap B\right)\times n\left(A\cap B\right)}\\
 & = & 2^{\left(2\times2\right)}\\
 & = & 16
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อความแรกถูก[/ANS]

ทำนองเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
n\left(r:\left(B-A\right)\rightarrow\left(A-B\right)\right) & = & n\left(P\left(\left(B-A\right)\times\left(A-B\right)\right)\right)\\
 & = & 2^{n\left(B-A\right)\times n\left(A-B\right)}\\
 & = & 2^{3\times4}\\
 & \neq & 128
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อความที่สองผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์เซตที่ใช้เทคนิคการนับการนับ การนับจำนวนความสัมพันธ์และฟังก์ชัน