กำหนดให้ $\mathbb{R}$ แทนเซตของจำนวนจริง และ

$$r=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mid\sqrt{12-\left|x\right|}+\sqrt{y+1}=3\right\} $$

ข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกต้องบ้าง (ตอบได้มากกว่าหนึ่งข้อ)

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาโดเมน[/STEP]

จาก $\sqrt{y+1}=3-\sqrt{12-\left|x\right|}$ จะได้ 

\begin{eqnarray*}
3-\sqrt{12-\left|x\right|} & \geq & 0\\
3 & \geq & \sqrt{12-\left|x\right|}\\
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการ

\begin{eqnarray*}
9 & \geq & 12-\left|x\right|\\
\left|x\right| & \geq & 3
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้ง แล้วย้ายไปด้านเดียวกันของสมการเพื่อใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

\begin{eqnarray*}
(x)^2 & \geq & 3^2\\
x^2 - 3^2 & \geq & 0\\
(x-3)(x+3) & \geq & 0
\end{eqnarray*}

แต่ในขณะเดียวกัน $12-\left|x\right|$ อยู่ในรากที่สองจึงต้องมีค่าไม่ติดลบ

\begin{eqnarray*}
12-\left|x\right| & \geq & 0\\
\left|x\right| & \leq & 12
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
(x)^2 & \leq & 12^2\\
x^2 -12^2 & \leq & 0\\
(x-12)(x+12) & \leq &0
\end{eqnarray*}

นำคำตอบที่ได้จากข้อจำกัดของ $x$ ทั้งสองมาอินเตอร์เซคกันเพื่อคำนวณหาโดเมนของ $r$

จะได้ $D_r=[-12,-3]\cup [3,12]$

[STEP]หาเรนจ์[/STEP]

ทำนองเดียวกัน 

\begin{eqnarray*}
3-\sqrt{y+1} & \geq & 0\\
\sqrt{y+1} & \leq & 3\\
y+1 & \leq & 9\\
y & \leq & 8
\end{eqnarray*}

และจากการที่ $y+1$ อยู่ในรากที่สองซึ่งต้องมีค่าไม่ติดลบ

\begin{eqnarray*}
y+1 & \geq & 0 \\
y & \geq & -1
\end{eqnarray*}

นำข้อจำกัดของค่า $y$ มาอินเตอร์เซคกัน

จะได้ $R_r=[-1,8]$

[STEP]ตรวจสอบข้อความที่โจทย์ถาม[/STEP]

$D_r\cap R_r=[3,8]$

และ $D_r-R_r=[-12,-3]\cup (8,12]$

[ANS]ข้อความทั้งสองผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : โดเมน-เรนจ์ของฟังก์ชัน