สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ใดๆ กำหนดให้ $x\star y$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้

  1. $x\star(xy)=(x\star x)y$
  2. $x\star(1\star x)=1\star x$
  3. $1\star1=1$

ค่าของ $3\star(4\star(5\star6))$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิสูจน์กฏข้อที่สามารถนำมาใช้ได้ง่ายๆ คือ $x\star y=y$[/STEP]

จากสมการที่โจทย์กำหนดให้

\begin{eqnarray*}
x\star(xy) &=& (x\star x)y \quad\cdots (1)\\
x\star(1\star x) &=& 1\star x \quad\cdots (2)\\
1\star1 &=& 1 \quad\cdots (3)
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=1$ ใน $(1)$ และใช้ $(3) :$

\begin{eqnarray*}
1\star\left(1y\right) & = & \left(1\star1\right)y\\
1\star y & = & 1y\\
1\star y & = & y
\end{eqnarray*}

หรืออาจเขียนเป็น

$$1\star x=x\quad\cdots\left(4\right)$$

ใช้ $(4)$ ร่วมกับ $(2)$

\begin{eqnarray*}
x\star\left(1\star x\right) & = & 1\star x\\
x\star\left(x\right) & = & x\\
x\star x & = & x\quad\cdots\left(5\right)
\end{eqnarray*}

แทน $(5)$ ลงใน $(1)$

\begin{eqnarray*}
x\star\left(xy\right) & = & \left(x\star x\right)y\\
 & = & \left(x\right)y\\
x\star\left(xy\right) & = & xy\quad\cdots\left(6\right)
\end{eqnarray*}

 

และ

\begin{eqnarray*}
x\star y & = & x\star\left(x\left(\frac{y}{x}\right)\right)\\
 & = & \left(x\left(\frac{y}{x}\right)\right)\\
x\star y & = & y\quad\cdots\left(7\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $3\star(4\star(5\star6))$[/STEP]

ใช้ $x\star y=y$ 

\begin{eqnarray*}
3\star(4\star(5\star6)) & = & 3\star\left(4\star\left(6\right)\right)\\
 & = & 3\star\left(6\right)\\
 & = & 6
\end{eqnarray*}

[ANS]$3\star(4\star(5\star6))=6$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ตัวดำเนินการที่นิยามใหม่