ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปรกติ นาย ก. และ นาย ข. เป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ได้คะแนนต่างกัน 76.5 คะแนน โดยมีนักเรียนร้อยละ $10.64$ สอบได้คะแนนน้อยกว่านาย ก. และมีนักเรียนร้อยละ $9.48$ สอบได้คะแนนมากกว่านาย ข.

จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งนี้ เมื่อกำหนดพื้นที่ใต้โค้งปรกติ ระหว่าง $0$ ถึง $z$ ตามตารางต่อไปนี้

$z$ $0.24$ $0.27$ $1.24$ $1.31$
พื้นที่ $0.0948$ $0.1064$ $0.3936$ $0.4052$
อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาค่า $z$ ของนาย ก. และนาย ข.[/STEP]

มีนักเรียนร้อยละ $10.64$ ได้คะแนนน้อยกว่านาย ก. คิดเป็นพื้นที่ $0.1064$ ซึ่งเริ่มจาก $-\infty$ มาจนถึง $z_{\text{ก}}$

คำนวณพื้นที่จาก $z_{\text{ก}}$ ไปจนถึง $z=0$ จะได้เท่า $0.5-0.1064=0.3936$ ซึ่งตรงกับ $z=1.24$ แต่เนื่องจากมีคนได้คะแนนน้อยกว่านาย ก. มีเพียงร้อยละ $10.64$ แสดงว่านาย ก. ได้คะแนนไม่ถึงค่าเฉลี่ย นั่นคือ คะแนนของเขาตรงกับตำแหน่งค่า $z<0$ ดังนั้น $z_{\text{ก}}=-1.24$

ในลักษณะที่คล้ายกัน $z_{\text{ข}}=1.31$

[STEP]สมมุติคะแนนนาย ก. ในเทอมคะแนนของนาย ข. แล้วคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตรหาค่า $z$[/STEP]

ให้ $\bar{x}$ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนของนักเรียนกลุ่มนี้ และให้ $s$ แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนกลุ่มนี้

ให้ $x_{\text{ก}}$, $x_{\text{ข}}$ แทนคะแนนของนาย ก. และนาย ข. ตามลำดับ ดังนั้น $x_{\text{ข}}=x_{\text{ก}}+76.5$

\begin{eqnarray*}
z_{\text{ก}} & = & \frac{x_{\text{ก}}-\bar{x}}{s}\\
-1.24 & = & \frac{x_{\text{ก}}-\bar{x}}{s}\quad\cdots(1)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
z_{\text{ข}} & = & \frac{x_{\text{ข}}-\bar{x}}{s}\\
1.31 & = & \frac{\left(x_{\text{ก}}+76.5\right)-\bar{x}}{s}\quad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2)-(1):$

\begin{eqnarray*}
1.31-\left(-1.24\right) & = & \frac{\left(x_{\text{ก}}+76.5\right)-\bar{x}-\left(x_{\text{ก}}-\bar{x}\right)}{s}\\
2.55 & = & \frac{76.5}{s}\\
s & = & \frac{76.5}{2.55}\\
 & = & 30
\end{eqnarray*}

[ANS]$s=30$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ค่ามาตรฐาน