ให้ $a,b,c$ เป็นเลขโดดที่ไม่ใช่ศูนย์ จงหาจำนวนสามหลัก $abc$ ที่มีค่ามากที่สุดและสอดคล้องกับเงื่อนไข

$$abc=ab+ba+ac+ca+bc+cb$$

เมื่อ $abc$ คือ เลขสามหลัก และ $ab,ba,\cdots$ คือ เลขสองหลัก

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาความสัมพันธ์ระหว่างเลขโดดทั้งสามจากสมการที่กำหนดให้[/STEP]

จากสมการที่กำหนดให้ นำเลขโดดแต่ละจำนวนคูณกับค่าประจำตำแหน่งของแต่ละตัวจะได้

\begin{eqnarray*}
100a+10b+c & = & \left(10a+b\right)+\left(10b+a\right)+\cdots+\left(10c+b\right)\\
100a+10b+c & = & 2\left(10a+10b+10c\right)+2\left(a+b+c\right)\\
100a+10b+c & = & 22a+22b+22c\\
78a & = & 12b+21c\\
26a & = & 4b+7c
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาความเป็นไปได้ของ $a,b,c$[/STEP]

เนื่องจาก $b$ และ $c$ เป็นเลขโดด จึงมีค่าสูงสุดได้เพียงแค่ $9$ เท่านั้น ดังนั้น ค่าของ $26a$ ย่อมมีค่าไม่เกินกรณีที่ $b=9$ และ $c=9$

\begin{eqnarray*}
26a & \leq & 4\left(9\right)+7\left(9\right)\\
26a & \leq & 99\\
a & \leq & \frac{99}{26}\\
a & \leq & 3.80\cdots
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $a$ มีโอกาสเป็นแค่เลขโดด $1,2$ หรือ $3$ เท่านั้น

เนื่องจากเราต้องการจำนวนที่มีค่ามากที่สุด จึงเริ่มทดลองเลือก $a=3$ และลองแทน $b=9$ แล้วคำนวณค่า $c$

\begin{eqnarray*}
26\left(3\right) & = & 4\left(9\right)+7c\\
78-36 & = & 7c\\
\frac{42}{7} & = & c\\
c & = & 6
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นไปได้พอดี ดังนั้น $a=3$, $b=9$ และ $c=6$

[ANS]จำนวน $abc$ คือ $396$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคการแก้โจทย์ปัญหาข้อจำกัดจำนวนเต็ม