นำเลขโดด $1,1,2,2,3,3,4$ ทั้งเจ็ดตัวมาจัดเรียงเป็นจำนวนเจ็ดหลักได้กี่จำนวนเมื่อเลข $1$ ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน และเลข $2$ ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณานิเสธ และแบ่งกรณี[/STEP]

นิเสธของสิ่งที่โจทย์ถาม คือ "เลข $1$ สองตัวติดกัน หรือ เลข $2$ สองตัวติดกัน"

ซึ่งการนับกรณีนิเสธนี้ต้องแยกออกเป็นสามกรณี แล้วนับแบบเซต คือ

$$n(1\text{ ติดกัน}) + n(2\text{ ติดกัน}) - n(1\text{ ติดกัน และ }2\text{ ติดกัน})$$

[STEP]นับจำนวนเจ็ดหลักทั้งหมด[/STEP]

นับจำนวนวิธีการเรียงของ $7$ อย่าง แบบมีบางส่วนซ้ำ คือ $1,1$ ซ้ำ $2,2$ ซ้ำ และ $3,3$ ซ้ำ

$$\frac{7!}{2!2!2!}=630\text{ วิธี}$$

[STEP]นับจำนวนเจ็ดหลักในกรณีนิเสธ และหาคำตอบ[/STEP]

กรณี $1$ ติดกัน ให้คิดว่ามัดเลข $1$ สองตัวติดกัน $(11),2,2,3,3,4$
แล้วเรียงของ $6$ อย่าง แบบมีบางส่วนซ้ำกัน คือ $2,2$ ซ้ำ และ $3,3$ ซ้ำ

$$\frac{6!}{2!2!}=180\text{ วิธี}$$

กรณี $2$ ติดกัน คิดแบบเดียวกับ $1$ ติดกัน จึงมี $180$ วิธี

กรณี $1$ ติดกัน และ $2$ ติดกัน ให้คิดว่า $1$ สองตัวติดกัน และ $2$ สองตัวติดกัน $(11),(22),3,3,4$
แล้วเรียงของ $5$ อย่าง แบบมีบางส่วนซ้ำกัน คือ $3,3$ ซ้ำ

$$\frac{5!}{2!}=60\text{ วิธี}$$

รวมแล้วมี $180+180-60=300\text{ วิธี}$

ดังนั้น จำนวนวิธีที่โจทย์ถาม คือ $630-300=330$ วิธี

[ANS]$330$ วิธี[/ANS]

ข้อนี้น้องบางคนอาจสงสัยว่าเหตุการณ์ "$1$ ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน และเลข $2$ ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน" ก็เชื่อมด้วย "และ" อยู่แล้ว น่าจะใช้วิธีนับตรงๆ ง่ายกว่าวิธีใช้นิเสธ  ยิ่งไปกว่านั้นบางคนนับตรงๆ แล้วได้จำนวนวิธีไม่เท่ากับเฉลย  มาดูกันครับว่าจุดที่ต้องระวังอยู่ตรงไหน

วิธีที่กำลังจะนำเสนอนี้ผิด แต่แสดงไว้เพื่อชี้ให้เห็นจุดผิดพลาดในการนับ "$1$ ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน และเลข $2$ ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน" แบบตรงๆ 

เราจะใช้วิธีจัดสิ่งที่ติดกันได้ลงไปก่อน โดยจะมีขั้นตอนดังนี้

  1. จัดเลข $3,3,4$ ลงไปก่อน
  2. นับช่องว่างระหว่างตัวเลข แล้วเลือกวางเลข $1,1$ ลงไป
  3. นับช่องว่างระหว่างตัวเลข แล้วเลือกวางเลข $2,2$ ลงไป

เรียง $3,3,4$ สับเปลี่ยนได้ $\frac{3!}{2!}=3$ วิธี และจะมีช่องว่างให้เลือกวางเลข $1,1$ ลงไป $4$ ตำแหน่งดังแผนภาพ

$$\_3\_3\_4\_$$

เลือกเอาเลข $1$ สองตัวไปวางได้ $\binom{4}{2}=\frac{4\times3}{2}=6$ วิธี

นับช่องว่างให้เลือกวาง $2,2$ ลงไป ได้ $6$ ตำแหน่งดังแผนภาพ

$$\_1\_3\_1\_3\_4\_$$

เลือกเอาเลข $2$ สองตัวไปวางได้ $\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2}=15$ วิธี

จำนวนวิธีการทั้งหมดเท่ากับ $3\times6\times15=270$ ซึ่งอย่างที่บอกไว้ว่าผิด

จุดที่ผิดอยู่ตรงที่ว่าเราได้เลือกตำแหน่งวางสิ่งที่ไม่อยากให้ติดกันลงไปสองครั้ง คือ ครั้งแรกเลข $1$ และครั้งที่สองเลข $2$  แต่ในความเป็นจริงแล้วยังมีอีกหลายกรณีที่เลข $1$ ที่วางลงไปในขั้นตอนที่สองสามารถวางติดกันได้ แต่ต้องเอาเลข $2$ ในขั้นตอนที่สามลงไปคั่นกลางไว้  จึงทำให้วิธีการนี้ถือว่านับไม่ครบ

ความรู้ที่ใช้ : การนับนิเสธ