นำเลขโดด 1,1,2,2,3,3,4 ทั้งเจ็ดตัวมาจัดเรียงเป็นจำนวนเจ็ดหลักได้กี่จำนวนเมื่อเลข 1 ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน และเลข 2 ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน
,
นิเสธของสิ่งที่โจทย์ถาม คือ "เลข 1 สองตัวติดกัน หรือ เลข 2 สองตัวติดกัน"
ซึ่งการนับกรณีนิเสธนี้ต้องแยกออกเป็นสามกรณี แล้วนับแบบเซต คือ
n(1 ติดกัน)+n(2 ติดกัน)−n(1 ติดกัน และ 2 ติดกัน)
,
นับจำนวนวิธีการเรียงของ 7 อย่าง แบบมีบางส่วนซ้ำ คือ 1,1 ซ้ำ 2,2 ซ้ำ และ 3,3 ซ้ำ
7!2!2!2!=630 วิธี
,
กรณี 1 ติดกัน ให้คิดว่ามัดเลข 1 สองตัวติดกัน (11),2,2,3,3,4
แล้วเรียงของ 6 อย่าง แบบมีบางส่วนซ้ำกัน คือ 2,2 ซ้ำ และ 3,3 ซ้ำ
6!2!2!=180 วิธี
กรณี 2 ติดกัน คิดแบบเดียวกับ 1 ติดกัน จึงมี 180 วิธี
กรณี 1 ติดกัน และ 2 ติดกัน ให้คิดว่า 1 สองตัวติดกัน และ 2 สองตัวติดกัน (11),(22),3,3,4
แล้วเรียงของ 5 อย่าง แบบมีบางส่วนซ้ำกัน คือ 3,3 ซ้ำ
5!2!=60 วิธี
รวมแล้วมี 180+180−60=300 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่โจทย์ถาม คือ 630−300=330 วิธี
ข้อนี้น้องบางคนอาจสงสัยว่าเหตุการณ์ "1 ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน และเลข 2 ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน" ก็เชื่อมด้วย "และ" อยู่แล้ว น่าจะใช้วิธีนับตรงๆ ง่ายกว่าวิธีใช้นิเสธ ยิ่งไปกว่านั้นบางคนนับตรงๆ แล้วได้จำนวนวิธีไม่เท่ากับเฉลย มาดูกันครับว่าจุดที่ต้องระวังอยู่ตรงไหน
วิธีที่กำลังจะนำเสนอนี้ผิด แต่แสดงไว้เพื่อชี้ให้เห็นจุดผิดพลาดในการนับ "1 ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน และเลข 2 ทั้งสองตัวต้องไม่ติดกัน" แบบตรงๆ
เราจะใช้วิธีจัดสิ่งที่ติดกันได้ลงไปก่อน โดยจะมีขั้นตอนดังนี้
- จัดเลข 3,3,4 ลงไปก่อน
- นับช่องว่างระหว่างตัวเลข แล้วเลือกวางเลข 1,1 ลงไป
- นับช่องว่างระหว่างตัวเลข แล้วเลือกวางเลข 2,2 ลงไป
เรียง 3,3,4 สับเปลี่ยนได้ 3!2!=3 วิธี และจะมีช่องว่างให้เลือกวางเลข 1,1 ลงไป 4 ตำแหน่งดังแผนภาพ
_3_3_4_
เลือกเอาเลข 1 สองตัวไปวางได้ (42)=4×32=6 วิธี
นับช่องว่างให้เลือกวาง 2,2 ลงไป ได้ 6 ตำแหน่งดังแผนภาพ
_1_3_1_3_4_
เลือกเอาเลข 2 สองตัวไปวางได้ (62)=6×52=15 วิธี
จำนวนวิธีการทั้งหมดเท่ากับ 3×6×15=270 ซึ่งอย่างที่บอกไว้ว่าผิด
จุดที่ผิดอยู่ตรงที่ว่าเราได้เลือกตำแหน่งวางสิ่งที่ไม่อยากให้ติดกันลงไปสองครั้ง คือ ครั้งแรกเลข 1 และครั้งที่สองเลข 2 แต่ในความเป็นจริงแล้วยังมีอีกหลายกรณีที่เลข 1 ที่วางลงไปในขั้นตอนที่สองสามารถวางติดกันได้ แต่ต้องเอาเลข 2 ในขั้นตอนที่สามลงไปคั่นกลางไว้ จึงทำให้วิธีการนี้ถือว่านับไม่ครบ