ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $f(x)$ เทียบกับ $x$ เท่ากับ $ax^3+bx$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และให้ $g(x)=(x^3+2x)f(x)$ ถ้า $f'(1)=18$, $f''(0)=6$ และ $f(0)=f(1)+f(-1)$ แล้วค่าของ $g'(1)$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $a,b$ จาก $f'(1)=18$, $f''(0)=6$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f'\left(1\right) & = & 18\\
a+b & = & 18\quad\cdots\left(1\right)
\end{eqnarray*}

หาอนุพันธ์ของ $f'(x)$ จะได้ 

$$f''(x)=3ax^2+b$$

แทนค่า $x=0$ เพื่อคำนวณ $f''(0)$

\begin{eqnarray*}
f''\left(0\right) & = & 6\\
6 & = & 3a\left(0\right)+b\\
b & = & 6
\end{eqnarray*}

แทนค่า $b=6$ ลงใน $(1)$ จะได้ $a=12$

ดังนั้น 

$$f'(x)=12x^3+6x$$

[STEP]คำนวณ $f(x)$ และหาค่าคงตัวจากการอินทิเกรต[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \int f'\left(x\right)dx\\
 & = & \int\left(12x^{3}+6x\right)dx\\
 & = & \frac{12x^{4}}{4}+\frac{6x^{2}}{2}+c\\
f\left(x\right) & = & 3x^{4}+3x^{2}+c
\end{eqnarray*}

คำนวณค่าคงตัว $c$ จากสมการ $f(0)=f(1)+f(-1)$

\begin{eqnarray*}
f\left(0\right) & = & f\left(1\right)+f\left(-1\right)\\
c & = & \left(6+c\right)+\left(6+c\right)\\
c & = & 2c+12\\
c & = & -12
\end{eqnarray*}

ดังนั้น 

$$f(x)=3x^4+3x^2-12$$

[STEP]คำนวณ $g'(1)$[/STEP]

แทนค่า $f(x)$ ที่ได้ลงไปใน $g(x)$ จากนั้นหาอนุพันธ์โดยใช้กฏอนุพันธ์ผลคูณ

\begin{eqnarray*}
g\left(x\right) & = & \left(x^{3}+2x\right)\left(3x^{4}+3x^{2}-12\right)\\
g'\left(x\right) & = & \left(x^{3}+2x\right)\left(12x^{3}+6x\right)+\left(3x^{4}+3x^{2}-12\right)\left(3x^{2}+2\right)\\
g'\left(1\right) & = & \left(3\right)\left(18\right)+\left(-6\right)\left(5\right)\\
 & = & 24
\end{eqnarray*}

[ANS]$g'(1)=24$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร การหาค่าคงตัวจากโจทย์ปัญหาอนุพันธ์