,

$$\begin{eqnarray*} f'\left(1\right) & = & 18\\ a+b & = & 18\quad\cdots\left(1\right) \end{eqnarray*}$$

หาอนุพันธ์ของ $f'(x)$ จะได้ 

$$f''(x)=3ax^2+b$$

แทนค่า $x=0$ เพื่อคำนวณ $f''(0)$

$$\begin{eqnarray*} f''\left(0\right) & = & 6\\ 6 & = & 3a\left(0\right)+b\\ b & = & 6 \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $b=6$ ลงใน $(1)$ จะได้ $a=12$

ดังนั้น 

$$f'(x)=12x^3+6x$$

,

$$\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & \int f'\left(x\right)dx\\  & = & \int\left(12x^{3}+6x\right)dx\\  & = & \frac{12x^{4}}{4}+\frac{6x^{2}}{2}+c\\ f\left(x\right) & = & 3x^{4}+3x^{2}+c \end{eqnarray*}$$

คำนวณค่าคงตัว $c$ จากสมการ $f(0)=f(1)+f(-1)$

$$\begin{eqnarray*} f\left(0\right) & = & f\left(1\right)+f\left(-1\right)\\ c & = & \left(6+c\right)+\left(6+c\right)\\ c & = & 2c+12\\ c & = & -12 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น 

$$f(x)=3x^4+3x^2-12$$

,

แทนค่า $f(x)$ ที่ได้ลงไปใน $g(x)$ จากนั้นหาอนุพันธ์โดยใช้กฏอนุพันธ์ผลคูณ

$$\begin{eqnarray*} g\left(x\right) & = & \left(x^{3}+2x\right)\left(3x^{4}+3x^{2}-12\right)\\ g'\left(x\right) & = & \left(x^{3}+2x\right)\left(12x^{3}+6x\right)+\left(3x^{4}+3x^{2}-12\right)\left(3x^{2}+2\right)\\ g'\left(1\right) & = & \left(3\right)\left(18\right)+\left(-6\right)\left(5\right)\\  & = & 24 \end{eqnarray*}$$