ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด $x=2$ ที่สอดคล้องกับ

$$f\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{4-2x}{x-\sqrt{x^{2}-3x+6}} & ,x<2\\
\frac{kx}{3} & ,x\geq2
\end{cases}$$

โดยที่ $k$ เป็นจำนวนจริง แล้ว $-f(k+7)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)$[/STEP]

เนื่องจากทดลองแทนค่าแล้วอยู่ในรูป $\frac00$ จึงใช้วิธีคูณด้วยคอนจูเกทของเทอมที่ติดรากที่สอง

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow2^{-}}f\left(x\right) & = & \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{4-2x}{x-\sqrt{x^{2}-3x+6}}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{4-2x}{x-\sqrt{x^{2}-3x+6}}\cdot\frac{x+\sqrt{x^{2}-3x+6}}{x+\sqrt{x^{2}-3x+6}}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{\left(4-2x\right)\left(x+\sqrt{x^{2}-3x+6}\right)}{x^{2}-\left(x^{2}-3x+6\right)}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{-2\left(x-2\right)\left(x+\sqrt{x^{2}-3x+6}\right)}{3\left(x-2\right)}
\end{eqnarray*}

ตัดเทอมที่ตรงกัน แล้วใช้เทคนิคแทนค่า

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow2^{-}}f\left(x\right) & = & \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{-2\cancel{\left(x-2\right)}\left(x+\sqrt{x^{2}-3x+6}\right)}{3\cancel{\left(x-2\right)}}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{-2\left(x+\sqrt{x^{2}-3x+6}\right)}{3}\\
 & = & \frac{-2\left(2+\sqrt{\left(2\right)^{2}-3\left(2\right)+6}\right)}{3}\\
 & = & -\frac{8}{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $f(2)$ แล้วใช้ความต่อเนื่องคำนวณค่า $k$ และ $-f(k+7)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f\left(2\right) & = & \lim_{x\rightarrow2^{-}}f\left(x\right)\\
\frac{k\left(2\right)}{3} & = & -\frac{8}{3}\\
k & = & -4
\end{eqnarray*}

คำนวณ $f(k+7)$

\begin{eqnarray*}
f\left(k+7\right) & = & f\left(-4+7\right)\\
 & = & f\left(3\right)\\
 & = & -4
\end{eqnarray*}

[ANS]$-f(k+7)=-(-4)=4$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความต่อเนื่อง เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม