ให้ $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ และ $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$, $b_5$, $b_6$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริงบวก โดยที่ $a_1=b_2$, $a_5=b_5$ และ $a_1\neq a_5$ ถ้า

$$\frac{\left(b_{6}-b_{4}\right)+\left(b_{5}-b_{1}\right)}{a_{5}-a_{2}}=\frac{x}{y}$$

เมื่อ ห.ร.ม. ของ $x$ กับ $y$ มีค่าเป็น $1$ แล้ว $x^2+y^2$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาความสัมพันธ์ระหว่างของผลต่างร่วมทั่งสองลำดับ[/STEP]

ให้ $d$ แทนผลต่างร่วมของลำดับ $a_n$
และ $D$ แทนผลต่างร่วมของลำดับ $b_n$

จากข้อมูล $a_1=b_2$, $a_5=b_5$ สามารถคำนวณความสัมพันธ์ระหว่าง $d$ และ $D$ ได้

\begin{eqnarray*}
a_{5}-a_{1} & = & b_{5}-b_{2}\\
4d & = & 3D\\
d & = & \frac{3D}{4}\quad\cdots\left(1\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณสิ่งที่โจทย์ถาม[/STEP]

โดยจัดให้อยู่ในรูปของผลต่างร่วมตัวใดตัวหนึ่งจากขั้นตอนที่แล้ว

\begin{eqnarray*}
\frac{\left(b_{6}-b_{4}\right)+\left(b_{5}-b_{1}\right)}{a_{5}-a_{2}} & = & \frac{\left(2D\right)+\left(4D\right)}{3d}\\
 & = & \frac{6D}{3\left(\frac{3D}{4}\right)}\\
 & = & \frac{8}{3}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=8$ และ $y=3$

[ANS]$x^2+y^2=73$[/ANS]

สูตรที่ใช้บ่อยๆ ในการเฉลยข้อนี้ คือ $a_k-a_m=(k-m)d$ เมื่อ $a_n$ เป็นลำดับเลขคณิต และ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า $m$

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเลขคณิต