ให้ $S$ แทนเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่ทำให้เมทริกซ์ $\left[\begin{array}{ccc}
4 & -2 & 7\\
x & -1 & 3\\
2 & 0 & x
\end{array}\right]$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน  และ $y$ เท่ากับผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $S$

ถ้า $A=\left[\begin{array}{cc}
y & 1\\
-1 & y
\end{array}\right]$ แล้ว ค่าของ $\det\left(\left(\left(A^{-1}\right)^{t}\right)^{-1}\right)^{t}$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณเด็ทของ $M$ หา $x$ ที่ทำให้ $\det M=0$ และหา $y$[/STEP]

ซึ่งจะได้ 

\begin{eqnarray*}
\det M & = & \left(-4x-12\right)-\left(-14-2x^{2}\right)\\
 & = & 2x^{2}-4x+2
\end{eqnarray*}

เนื่องจากเมทริกซ์เอกฐาน คือ เมทริกซ์ที่มีเด็ทเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงแก้สมการ $\det M = 0$ หาค่า $x$

\begin{eqnarray*}
\det M & = & 0\\
2x^{2}-4x+2 & = & 0\\
2\left(x-1\right)^{2} & = & 0\\
x & = & 1
\end{eqnarray*}

จะได้ $S=\left\{1\right\}$ และผลบวกของสมาชิกใน $S$ เท่ากับ $y=1$

[STEP]แทนค่า $y=1$ ใน $A$, คำนวณ $\det A$ และสิ่งที่โจทย์ถาม[/STEP]

แทนค่า $y=1$ ใน $A$ ได้

\begin{eqnarray*}
A & = & \left[\begin{array}{cc}
y & 1\\
-1 & y
\end{array}\right]\\
 & = & \left[\begin{array}{cc}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

คำนวณ $\det A$

จะได้ $\det A = 2$

ใช้สมบัติของ $\det$ ที่ว่า $\det A^t = \det A$ และ $\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$ คำนวณ $\det\left(\left(\left(A^{-1}\right)^{t}\right)^{-1}\right)^{t}$

\begin{eqnarray*}
\det\left(\left(\left(A^{-1}\right)^{t}\right)^{-1}\right)^{t} & = & \det\left(\left(\left(A^{-1}\right)^{t}\right)^{-1}\right)\\
 & = & \frac{1}{\det\left(\left(A^{-1}\right)^{t}\right)}\\
 & = & \frac{1}{\det\left(A^{-1}\right)}\\
 & = & \frac{1}{\frac{1}{\det A}}\\
 & = & \det A\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์สการคูณเมทริกซ์