เนื่องจากโจทย์ข้อนี้มีคำตอบเท่ากันทุกค่า $x$ ที่อยู่ในช่วง $(0,1)$ ดังนั้นเราสามารถแทนค่า $x$ ที่ทำให้คำนวณ $\tan \theta+\cot\theta$ ได้ง่ายๆ คือ $x=\frac19$ ซึ่งจะทำให้ได้

$$\begin{eqnarray*} \theta & = & \arctan\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{9}}+1}{1-\sqrt{\frac{1}{9}}}\right)-\arctan\left(\sqrt{\frac{1}{9}}\right)\\  & = & \arctan\left(\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}\right)-\arctan\frac{1}{3}\\  & = & \arctan2-\arctan\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$$

จากนั้นคำนวณ

$$\begin{eqnarray*} \tan\theta & = & \tan\left(\arctan2-\arctan\frac{1}{3}\right)\\  & = & \frac{\left(\tan\arctan2\right)-\left(\tan\arctan\frac{1}{3}\right)}{1+\left(\tan\arctan2\right)\left(\tan\arctan\frac{1}{3}\right)}\\  & = & \frac{2-\frac{1}{3}}{1+\left(2\right)\left(\frac{1}{3}\right)}\\  & = & 1 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac11=1$

นั่นคือ $\tan\theta+\cot\theta=2$ นั่นเอง