กำหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(0,0)$ และมีโฟกัส $F_1$ และ $F_2$ อยู่บนแกน $x$ จุด $A(4,1)$ เป็นจุดบนวงรีโดยที่ผลบวกระยะทางจากจุด $A(4,1)$ ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองมีค่าเท่ากับ $6\sqrt{2}$  ให้เส้นตรง $L$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $(4.5,0)$ และสัมผัสกับวงรีที่จุด $A(4,1)$

ถ้า $d$ เป็นระยะห่างระหว่างจุด $(0,0)$ กับเส้นตรง $L$, $\left|AF_1\right|$ และ $\left|AF_2\right|$ แทนระยะทางระหว่างจุด $A$ และจุดโฟกัส $F_1$ และ $F_2$ ตามลำดับ แล้ว $d^2\left|AF_1\right|\left|AF_2\right|$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาสมการวงรี และจุดโฟกัส $F_1$ และ $F_2$[/STEP]

เนื่องจากโจทย์บอกว่าจุดโฟกัส $F_1$ และ $F_2$ ของวงรีอยู่บนแกน $x$ เราจึงทราบว่าวงรีนี้ขนานแกน $x$ และการที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(0,0)$ จึงทำให้ทราบว่ามีสมการเป็น

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนจริง

จากข้อมูลที่ว่าผลรวมระยะทางระหว่างจุด $A(4,1)$ ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ $6\sqrt{2}$ แสดงว่า $2a=6\sqrt{2}$ ดังนั้น $a=3\sqrt{2}$ และ  $a^2=18$ แทนค่าลงในสมการวงรี

$$\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

ใช้การที่จุด $A(4,1)$ เป็นจุดบนวงรีนี้ เมื่อแทนลงในสมการของวงรีต้องเป็นจริง ซึ่งสามารถแก้สมการหาค่า $b^2$ ได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\left(4\right)^{2}}{18}+\frac{\left(1\right)^{2}}{b^{2}} & = & 1\\
16b^{2}+18 & = & 18b^{2}\\
18 & = & 2b^{2}\\
b^{2} & = & 9
\end{eqnarray*}

ดังนั้น สมการวงรีนี้ คือ

$$\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$$

คำนวณค่า $c$ ที่บอกโฟกัสของพาราโบลานี้

\begin{eqnarray*}
a^{2}-b^{2} & = & c^{2}\\
18-9 & = & c^{2}\\
c & = & 3
\end{eqnarray*}

จะได้ $c=3$ และจุดโฟกัสทั้งสอง คือ $F_1(-3,0)$ และ $F_2(3,0)$

[STEP]คำนวณระยะ $d$, $\left|AF_1\right|$, $\left|AF_2\right|$ และ $d^2\left|AF_1\right|\left|AF_2\right|$ [/STEP]

คำนวณความชันของเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด $A(4,1)$ กับ $(4.5,0)$

\begin{eqnarray*}
m & = & \frac{1-0}{4-4.5}\\
 & = & \frac{1}{-0.5}\\
 & = & -2
\end{eqnarray*}

สร้างสมการเส้นตรงของ $L$ โดยมีความชันเท่ากับ $-2$ และผ่านจุด $A(4,1)$ และเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไป

\begin{eqnarray*}
y-1 & = & -2\left(x-4\right)\\
y-1 & = & -2x+8\\
y+2x-9 & = & 0
\end{eqnarray*}

คำนวณระยะทางระหว่าง $(0,0)$ ไปยังเส้นตรง $L$

\begin{eqnarray*}
d & = & \frac{\left|\left(0\right)+2\left(0\right)-9\right|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\\
 & = & \frac{9}{\sqrt{5}}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$d^{2}=\frac{81}{5}$$

คำนวณ $\left|AF_1\right|$ และ $\left|AF_2\right|$

\begin{eqnarray*}
\left|AF_{1}\right| & = & \sqrt{\left(4+3\right)^{2}+\left(1-0\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{49+1}\\
 & = & \sqrt{50}
\end{eqnarray*}

และ 

\begin{eqnarray*}
\left|AF_{2}\right| & = & \sqrt{\left(4-3\right)^{2}+\left(1-0\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{1+1}\\
 & = & \sqrt{2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
d^{2}\left|AF_{1}\right|\left|AF_{2}\right| & = & \left(\frac{81}{5}\right)\left(\sqrt{50}\right)\left(\sqrt{2}\right)\\
 & = & \frac{81}{5}\left(\sqrt{100}\right)\\
 & = & 162
\end{eqnarray*}

[ANS]$d^{2}\left|AF_{1}\right|\left|AF_{2}\right|=162$[/ANS]

 

 

ความรู้ที่ใช้ : ระยะทางของจุดกับเส้นตรง การสร้างสมการวงรี วงรี